উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১

সেট ও ফাংশন

SSC Higher Math Chapter 1

১০টি টপিক
৬টি সিমুলেশন
১২ পিরিয়ড

পাঠ শুরু করো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

সিমুলেশন

টপিক

সার্বিক সেট, উপসেট, পূরক সেট ও শক্তি সেট
পড়ে নাও
কোনো আলোচনায় যে সেটের উপসেট হিসেবে অন্য সব সেট বিবেচনা করা হয়, তাকে সার্বিক সেট বলে এবং সাধারণত U দিয়ে প্রকাশ করা হয়। যেমন কোনো শ্রেণির শিক্ষার্থীদের নিয়ে আলোচনায় ঐ শ্রেণির সব শিক্ষার্থীর সেট সার্বিক সেট হতে পারে।
পুরো টপিক পড়ো →
সেটের সংযোগ, ছেদ ও অন্তর
পড়ে নাও
সংযোগ সেট হলো দুটি সেটের অন্তত একটিতে থাকা সব উপাদানের সেট। তাই উভয় সেটে থাকা উপাদানও সংযোগে থাকবে। সংজ্ঞা: A ∪ B = {x : x ∈ A অথবা x ∈ B}। এখানে A,B দুটি সেট, x একটি উপাদান এবং ∪ সংযোগের প্রতীক।
পুরো টপিক পড়ো →
সেট প্রক্রিয়ার ধর্মাবলি
পড়ে নাও
সংযোগ (∪), ছেদ (∩) ও পূরক নেওয়ার প্রক্রিয়াগুলো কিছু নিয়ম মেনে চলে। A, B, C যেকোনো সেট এবং U সার্বিক সেট হলে: বিনিময় বিধি: A∪ B=B∪ A এবং A∩ B=B∩ A। সংযোগ বিধি: (A∪ B)∪ C=A∪(B∪ C) এবং (A∩ B)∩ C=A∩(B∩ C)।
পুরো টপিক পড়ো →
সমতুল সেট ও অসীম সেট
পড়ে নাও
এক-এক মিল: A সেটের প্রতিটি উপাদানের সঙ্গে B সেটের একটি ও কেবল একটি উপাদানের এবং B এর প্রতিটি উপাদানের সঙ্গে A এর একটি ও কেবল একটি উপাদানের মিল স্থাপন করা গেলে তাকে A ও B এর মধ্যে এক-এক মিল বলে, লেখা হয় A↔ B।
পুরো টপিক পড়ো →
সেটের সংযোগের শক্তি সেট
পড়ে নাও
সংযোগ সেটের শক্তি সেটে কতগুলো উপাদান থাকবে তা জানতে আগে n(A∪ B) জানতে হয়, কারণ কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা k হলে তার শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা 2^k। নিঃচ্ছেদ সেটের ক্ষেত্রে: A∩ B=∅ হলে A ও B কে নিঃচ্ছেদ সেট বলে।
পুরো টপিক পড়ো →
বাস্তব সমস্যা সমাধানে সেট
পড়ে নাও
বাস্তব জীবনের অনেক গণনার সমস্যা সেট ও ভেনচিত্র দিয়ে সহজে সমাধান করা যায়। কৌশলটি হলো প্রতিটি দলকে একটি সেট ধরা, তারপর n(A∪ B)=n(A)+n(B)-n(A∩ B) সূত্র ও ভেনচিত্রের অংশগুলো কাজে লাগানো।
পুরো টপিক পড়ো →
অন্বয় এবং ফাংশন এর ধারণা
পড়ে নাও
দুটি সেট A ও B এর কার্তেসীয় গুণজ সেট A× B হলো সব ক্রমজোড় (x, y) এর সেট, যেখানে x∈ A এবং y∈ B। যেমন A={1, 2}, B={3, 4} হলে A× B={(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}। অন্বয়: A থেকে B তে একটি অন্বয় R হলো A× B এর একটি উপসেট।
পুরো টপিক পড়ো →
ফাংশন এর ডোমেন ও রেঞ্জ
পড়ে নাও
ডোমেন হলো ফাংশনের জন্য নির্ধারিত সব গ্রহণযোগ্য ইনপুটের সেট। কো-ডোমেন হলো যে সেটে ফাংশনের আউটপুটগুলো থাকার কথা। রেঞ্জ হলো ডোমেনের উপাদানগুলো বসিয়ে বাস্তবে পাওয়া সব আউটপুটের সেট।
পুরো টপিক পড়ো →
এক-এক ফাংশন, সার্বিক ফাংশন ও এক-এক সার্বিক ফাংশন
পড়ে নাও
ধরি f: A→ B একটি ফাংশন। এখানে A ডোমেন, B কোডোমেন, আর সব প্রতিবিম্বের সেট f(A) হলো রেঞ্জ, যা কোডোমেনের উপসেট। ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের প্রতিবিম্ব ভিন্ন হলে f কে এক-এক ফাংশন বলে।
পুরো টপিক পড়ো →
বিপরীত ফাংশন অন্বয় ও ফাংশনের লেখচিত্র
পড়ে নাও
f: A→ B এক-এক সার্বিক হলে B এর প্রতিটি উপাদান y ঠিক একটি x∈ A এর প্রতিবিম্ব। তখন y কে সেই x এর সঙ্গে মিলিয়ে B থেকে A তে একটি ফাংশন পাওয়া যায়; একে f এর বিপরীত ফাংশন বলে এবং f⁻¹ লেখা হয়। অর্থাৎ y=f(x) হলে x=f⁻¹(y)।
পুরো টপিক পড়ো →

শিখনফল

সার্বিক সেট, উপসেট, পূরক সেট ও শক্তি সেট গঠন করতে পারবে।
বিভিন্ন সেটের সংযোগ, ছেদ ও অন্তর নির্ণয় করতে পারবে।
সেট প্রক্রিয়ার ধর্মাবলির যৌক্তিক প্রমাণ করতে পারবে।
সমতুল সেট বর্ণনা করতে পারবে এবং এর মাধ্যমে অসীম সেটের ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে।
সেটের সংযোগের শক্তি সেট নির্ণয়ের সূত্র ব্যাখ্যা করতে পারবে এবং ভেনচিত্র ও উদাহরণের সাহায্যে তা যাচাই করতে পারবে।
সেট প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে জীবনভিত্তিক সমস্যা সমাধান করতে পারবে।
সেটের সাহায্যে অন্বয় ও ফাংশন এর ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে।
ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করতে পারবে
এক-এক ফাংশন, সার্বিক ফাংশন ও এক-এক সার্বিক ফাংশন উদাহরণের সাহায্যে ব্যাখ্যা করতে পারবে।
বিপরীত ফাংশন ব্যাখ্যা করতে পারবে।
লেখচিত্রের সাহায্যে কোনো অন্বয় ফাংশন কিনা তা যাচাই করতে পারবে।
অন্বয় ও ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করতে পারবে।

এই অধ্যায়ের পার্থক্য ও গাইড

এই অধ্যায়ের সূত্র

সংযোগ সেটের সদস্য সংখ্যা
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
সিমুলেশনে দেখো →
সেট প্রক্রিয়ার ধর্ম
$(A \cup B)' = A' \cap B',\quad (A \cap B)' = A' \cup B',\quad A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
সিমুলেশনে দেখো →
ফাংশন, ডোমেন ও রেঞ্জ
$f: A \to B,\quad \text{Range}(f) = \{f(x) : x \in A\}$
সিমুলেশনে দেখো →
এক-এক, সার্বিক ও বিপরীত ফাংশন: f: A → B
$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2, \quad f(A) = B$
সিমুলেশনে দেখো →
বর্গমূল ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ
$f(x)=\sqrt{x-c}:\ x-c\ge 0 \Rightarrow D_f=\{x\in\mathbb{R}: x\ge c\},\quad R_f=\{y\in\mathbb{R}: y\ge 0\}$
সিমুলেশনে দেখো →
শক্তি সেট ও পূরক সেট
$n(P(A)) = 2^{n(A)}, \quad A' = U \setminus A$
সিমুলেশনে দেখো →

এই বিষয়ের সব সূত্র →

সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

ঢাকার একটি ডিজিটাল সেবাদানকারী প্রতিষ্ঠান গ্রাহকদের মোবাইল আর্থিক সেবায় (যেমন বিকাশ বা নগদ) লেনদেনের হিসাব সংরক্ষণের জন্য দুটি ফাংশন ব্যবহার করে: $f(x) = \frac{2x + 1}{2x - 3}$ (যেখানে $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}$ ) এবং $g(x) = \sqrt{2x - 5}$ । এছাড়া $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 5x + 6 = 0\}$ এবং $S = \{(x, y) : x \in A, y \in A \text{ এবং } y = x + 1\}$ একটি অন্বয়।

ক
$S$ অন্বয়টিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো এবং এর ডোমেন নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও
$x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2, 3$ , সুতরাং $A = \{2, 3\}$ । প্রদত্ত শর্ত $y = x + 1$ -এ $x = ২$ হলে $y = ৩ \in A$ , কিন্তু $x = ৩$ হলে $y = ৪ \notin A$ । অতএব $S = \{(2, 3)\}$ এবং $\text{Dom } S = \{2\}$ ।
খ
$g(x)$ ফাংশনটির বাস্তব ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও
$g(x) \in \mathbb{R}$ হবে যদি ও কেবল যদি $2x - 5 \ge 0$ হয়, অর্থাৎ $2x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{2}$ । সুতরাং $\text{Dom } g = \{x \in \mathbb{R} : x \ge \frac{5}{2}\}$ বা $[\frac{5}{2}, \infty)$ । আবার, $x \ge \frac{5}{2}$ -এর জন্য $\sqrt{2x - 5}$ -এর মান সর্বদা অঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা। সুতরাং $\text{Range } g = \{y \in \mathbb{R} : y \ge 0\}$ বা $[0, \infty)$ ।
গ
দেখাও যে, $f(x)$ ফাংশনটি এক-এক এবং এর বিপরীত ফাংশন $f^{-1}(x)$ নির্ণয় করে $f^{-1}(3)$ -এর মান বের করো।
উত্তর দেখাও
$f(x_1) = f(x_2) \implies \frac{2x_1 + 1}{2x_1 - 3} = \frac{2x_2 + 1}{2x_2 - 3} \implies (2x_1 + 1)(2x_2 - 3) = (2x_2 + 1)(2x_1 - 3) \implies 4x_1 x_2 - 6x_1 + 2x_2 - 3 = 4x_1 x_2 - 6x_2 + 2x_1 - 3 \implies -8x_1 = -8x_2 \implies x_1 = x_2$ । সুতরাং $f$ এক-এক ফাংশন। ধরি $y = \frac{2x + 1}{2x - 3} \implies 2xy - 3y = 2x + 1 \implies 2x(y - 1) = 3y + 1 \implies x = \frac{3y + 1}{2y - 2}$ । সুতরাং $f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{2x - 2}$ । অতএব $f^{-1}(3) = \frac{3(3) + 1}{2(3) - 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ (বা ২.৫)।

সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর লেখার নিয়ম →