offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১

টিফিন বাক্স ও শক্তি সেট

মান বদলাও, চালাও, আর দেখো কী ঘটে।

মীতুর মা প্রতিদিনের টিফিনে সিঙ্গাড়া, সমুচা ও পেঁয়াজু: এই ৩টি নাশতার যেকোনো সমন্বয় দেন। এমনকি রোজার দিনে কোনো নাশতা না দিয়ে খালি বাক্সও দিতে পারেন। ৩টি নাশতা থেকে পছন্দ করে মোট কত রকম ভিন্ন ভিন্ন টিফিন বাক্স তৈরি করা সম্ভব?

৩টি নাশতা (সিঙ্গাড়া, সমুচা, পেঁয়াজু) দিয়ে মোট কত রকম ভিন্ন ভিন্ন টিফিন বাক্স সাজানো সম্ভব?

  1. ৬ রকম: ৩ × ২ = ৬ (উপাদান সংখ্যাকে ২ দিয়ে গুণ)
  2. ৭ রকম: খালি টিফিন বাক্সটি (ফাঁকা সেট ∅) বাদ দেওয়া হয়েছে
  3. ৮ রকম: ২³ = ৮ (খালি বাক্স ও ৩টি নাশতার বাক্সসহ)

যা বদলাতে পারবে

  • মোট উপলব্ধ নাশতা n(U): ১০ থেকে ৩০
  • দোকান A-র নাশতা n(A): ০ থেকে ১০
  • দোকান B-র নাশতা n(B): ০ থেকে ১০
  • উভয় দোকানের সাধারণ নাশতা n(A∩B): ০ থেকে ১০

যা মেপে দেখাবে

  • A-র শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা n(P(A))
  • মোট বিভিন্ন নাশতা n(A∪B)
  • A-র পূরক সেট n(A′)
  • সংখ্যাগুলো সংগতিপূর্ণ?

চালানোর সময় খেয়াল করো

  • দোকান A-র নাশতার সংখ্যা n(A) বাড়িয়ে ৩ করে দেখো। শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা n(P(A)) কীভাবে দ্বিগুণ হয়ে ৮ হয়?

নিজে করে দেখো

  1. দোকান A-তে নাশতার সংখ্যা n(A) এমনভাবে নির্ধারণ করো যাতে টিফিন বাক্সের মোট সমন্বয় বা শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা ঠিক ৬৪ হয়।
    ইঙ্গিত

    ২-এর কোন ঘাত ৬৪ হয়? হিসাব করো: ২⁶ = ৬৪।

  2. দোকান A ও B মিলিয়ে যেন মোট ৫টি ভিন্ন নাশতা থাকে (n(A∪B) = ৫) এবং সংখ্যাগুলো সংগতিপূর্ণ হয়: যাতে তাদের সংযোগ সেটের শক্তি সেটে ৩২টি উপাদান থাকে।
    ইঙ্গিত

    n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) = ৫ মেলাও এবং নিশ্চিত করো যেন সংখ্যাগুলো সংগতিপূর্ণ থাকে। তখন ২⁵ = ৩২টি উপসেট তৈরি হবে।

ধারণাটা কী?আগে নিজে চালিয়ে দেখো, তারপর খোলো।

শক্তি সেট ও পূরক সেট

n(P(A))=2n(A),A′=U∖An(P(A)) = 2^{n(A)}, \quad A' = U \setminus A

কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার উপসেটের সংখ্যা বা শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা হয় ২ⁿ। এতে ফাঁকা সেট ∅ এবং ওই সেটটি নিজেও অন্তর্ভুক্ত থাকে। একইভাবে সংযোগ সেটের শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা হবে ২^(n(A∪B))। সার্বিক সেট U থেকে A বাদ দিলে পূরক সেট A′ = U ∖ A পাওয়া যায়, যার উপাদান সংখ্যা n(A′) = n(U) − n(A)।

অন্য উত্তরগুলো কেন ভুল

উপাদান সংখ্যাকে শুধু ২ দিয়ে গুণ করলে (৩ × ২ = ৬) শক্তি সেট পাওয়া যায় না, কারণ প্রতিটি উপাদান নেওয়ার বা না-নেওয়ার দুটি করে স্বাধীন বিকল্প থাকে। আবার খালি বাক্সটিও একটি বৈধ উপসেট (ফাঁকা সেট ∅), তাই মোট উপসেট ৭টি নয়, পুরো ৮টি।

যেসব ভুল ধারণা হয়

  • উপসেট গণনায় ফাঁকা সেট বা শূন্য উপাদান বিশিষ্ট সেট বাদ পড়ে
  • শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা বের করতে সেটের উপাদান সংখ্যাকে ২ দিয়ে গুণ করতে হয়

বাস্তবে কোথায় দেখা যায়

  • মোবাইল ব্যাংকিং অ্যাপে (যেমন বিকাশ বা নগদ) গ্রাহকের বিভিন্ন সেবার অনুমতি ও প্যাকেজ সমন্বয় নির্ধারণ করা
  • খাদ্য ও পুষ্টি পরিকল্পনায় বিভিন্ন উপাদানের খাদ্যতালিকা ও মেনু সমন্বয় তৈরি করা

পাঠ্যবইয়ের টপিক