লকার বণ্টন: এক-এক ও সার্বিক ফাংশন
মান বদলাও, চালাও, আর দেখো কী ঘটে।
একটি বিদ্যালয়ে ৫ জন শিক্ষার্থীকে (রোল: −২, −১, ০, ১, ২) f(x) = 2x + 1 নিয়ম অনুযায়ী লকার দেওয়া হলো। প্রাথমিকভাবে বরাদ্দকৃত লকারগুলো {−৩, −১, ১, ৩, ৫} বিবেচনা করলে প্রত্যেকে একটি করে আলাদা লকার পায় এবং কোনো লকার খালি থাকে না। কিন্তু লকার রুমে মোট ১১টি লকার রয়েছে, যার নম্বর −৫ থেকে ৫ পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যা। সব লকারকে কোডোমেন বিবেচনা করলে ফাংশনটি কি সার্বিক হবে?
লকার রুমের সব লকার (−৫ থেকে ৫) কোডোমেন হলে f(x) = 2x + 1 ফাংশনটি কেমন হবে?
- এক-এক কিন্তু সার্বিক নয়: ভিন্ন শিক্ষার্থী ভিন্ন লকার পায়, তবে কিছু লকার খালি থাকে
- এক-এক ও সার্বিক: একটি ফাংশন এক-এক হলে তা সবসময় সার্বিকও হয়
- সার্বিক: কারণ প্রতিটি লকার নম্বরই কোডোমেনের ভেতরের একটি পূর্ণসংখ্যা
যা বদলাতে পারবে
- লকার বণ্টনের নিয়ম f(x): f(x) = 2x + 1 (দ্বিগুণ যোগ ১), f(x) = x² (বর্গ), f(x) = |x| (পরমমান), f(x) = x³ (ঘন), f(x) = 3 (ধ্রুবক ৩), f(x) = ⌊x/2⌋ (অর্ধেক)
- কোডোমেন সেট: বরাদ্দকৃত লকার (রেঞ্জ), সকল লকার (−৫ থেকে ৫)
যা মেপে দেখাবে
- ব্যবহৃত লকার সংখ্যা (রেঞ্জ)
- উপলব্ধ মোট লকার (কোডোমেন)
- এক-এক ফাংশন?
- সার্বিক ফাংশন?
চালানোর সময় খেয়াল করো
- কোডোমেন বদলে 'সকল লকার (−৫ থেকে ৫)' নির্বাচন করে দেখো। ব্যবহৃত লকার (রেঞ্জ) আর মোট লকারের সংখ্যা কি সমান থাকে?
- তীর চিত্রে হলুদ গোলকগুলো লক্ষ্য করো: কোন কোন লকার খালি পড়ে আছে?
নিজে করে দেখো
- লকার রুমের সব লকার (−৫ থেকে ৫) কোডোমেন রেখে এমন ব্যবস্থা করো যা এক-এক হবে কিন্তু সার্বিক হবে না (one-one into)।
ইঙ্গিত
কোডোমেনকে 'সকল লকার (−৫ থেকে ৫)' করো এবং f(x) = 2x + 1 নিয়মটি রাখো।
- এমন একটি নিয়ম বেছে নাও যাতে একাধিক শিক্ষার্থী একই লকার পায়, কিন্তু বরাদ্দকৃত লকারগুলোর প্রতিটিই পূর্ণ থাকে (সার্বিক কিন্তু এক-এক নয়)।
ইঙ্গিত
কোডোমেন 'বরাদ্দকৃত লকার' রেখে বর্গ f(x) = x² বা পরমমান নিয়মটি বেছে নাও। ঋণাত্মক ও ধনাত্মক রোলের আউটপুট কি একই হয়?
- লকার রুমের সব লকার (−৫ থেকে ৫) কোডোমেন থাকা অবস্থায় এমন নিয়ম করো যাতে একাধিক শিক্ষার্থী একই লকার পায় এবং খালি লকারও থাকে (এক-একও নয়, সার্বিকও নয়)।
ইঙ্গিত
কোডোমেন 'সকল লকার (−৫ থেকে ৫)' রেখে f(x) = x² নির্বাচন করো।
ধারণাটা কী?আগে নিজে চালিয়ে দেখো, তারপর খোলো।
এক-এক, সার্বিক ও বিপরীত ফাংশন: f: A → B
ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের ছবি সবসময় ভিন্ন হলে ফাংশনটি এক-এক (injective)। কোডোমেনের প্রতিটি সদস্য যদি ডোমেনের অন্তত কোনো একটি সদস্যের ছবি হয় (রেঞ্জ = কোডোমেন), তবে ফাংশনটি সার্বিক (surjective)। এখানে f(x) = 2x + 1 ফাংশনটি এক-এক, কারণ প্রত্যেকের লকার আলাদা। কিন্তু রেঞ্জ {−৩, −১, ১, ৩, ৫} মোট ১১টি লকারের সমান নয়; ৬টি লকার খালি থাকে। তাই এটি সার্বিক নয়। কেবল ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক (bijection) হলেই তার বিপরীত ফাংশন বিদ্যমান থাকে।
অন্য উত্তরগুলো কেন ভুল
একটি ফাংশন এক-এক হলেই সার্বিক হয় না। এক-এক ফাংশনে ভিন্ন ভিন্ন ইনপুটের জন্য আউটপুট ভিন্ন হয়, কিন্তু কোডোমেনের সব উপাদান পূরণ নাও হতে পারে। আবার আউটপুটগুলো পূর্ণসংখ্যা হলেই ফাংশন সার্বিক হয় না: কোডোমেনের প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকেই কোনো না কোনো ইনপুটের আউটপুট হতে হয়।
যেসব ভুল ধারণা হয়
- কোনো ফাংশন এক-এক হলে তা সবসময় সার্বিকও হয়
- প্রতিটি আউটপুট কোডোমেনের সদস্য হলেই ফাংশনটি সার্বিক হয়
বাস্তবে কোথায় দেখা যায়
- জাতীয় পরিচয়পত্র (NID) নম্বর বণ্টন: প্রতিটি নাগরিকের জন্য একটি অনন্য নম্বর বরাদ্দ করা এক-এক অন্বয়, যা জাল পরিচয় রোধ করে।
- ডিজিটাল ব্যাংকিং ও বিকাশ লেনদেনে ওটিপি (OTP) ও পিন যাচাই: সঠিক গ্রাহক শনাক্ত করতে বিপরীতযোগ্য এক-এক মিল ব্যবহার করা হয়।