বিপরীত ফাংশন অন্বয় ও ফাংশনের লেখচিত্র

বিপরীত ফাংশন

$f: A\to B$ এক-এক সার্বিক হলে $B$ এর প্রতিটি উপাদান $y$ ঠিক একটি $x\in A$ এর প্রতিবিম্ব। তখন $y$ কে সেই $x$ এর সঙ্গে মিলিয়ে $B$ থেকে $A$ তে একটি ফাংশন পাওয়া যায়; একে $f$ এর বিপরীত ফাংশন বলে এবং $f^{-1}$ লেখা হয়। অর্থাৎ $y=f(x)$ হলে $x=f^{-1}(y)$। কোনো অন্বয় $R$ এর ক্রমজোড়গুলোর উপাদান স্থান বদল করলে বিপরীত অন্বয় $R^{-1}$ পাওয়া যায়।

উদাহরণ: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$। $y=2x+3$ থেকে $x=\dfrac{y-3}{2}$। তাই $f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}$। যাচাই: $f\left(f^{-1}(x)\right)=2\cdot\dfrac{x-3}{2}+3=x$।

অন্বয় ও ফাংশনের লেখচিত্র

• $y=ax+b$: এর লেখচিত্র একটি সরলরেখা। যেমন $y=2x+1$ এর জন্য $x=0, 1, 2$ এ $y=1, 3, 5$; বিন্দুগুলো যুক্ত করলে সরলরেখা পাওয়া যায়।
• $f(x)=ax^{2}+bx+c$, $a\neq0$: এর লেখচিত্র পরাবৃত্ত আকারের বক্ররেখা। যেমন $y=x^{2}$ এর জন্য $x=-2, -1, 0, 1, 2$ এ $y=4, 1, 0, 1, 4$।
• $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, $a>0$: এর লেখচিত্র মূলবিন্দুকে কেন্দ্র করে $a$ ব্যাসার্ধের বৃত্ত। যেমন $x^{2}+y^{2}=9$ এর ব্যাসার্ধ $3$।

শেষেরটি একটি অন্বয়, কিন্তু ফাংশন নয়। কারণ $x^{2}+y^{2}=9$ এ $x=0$ বসালে $y=3$ এবং $y=-3$, অর্থাৎ একটি $x$ এর দুটি ভিন্ন $y$ পাওয়া যায়, যা ফাংশনের সংজ্ঞার পরিপন্থী।

লেখচিত্র আঁকতে $x$ এর কয়েকটি মান নিয়ে সারণি বানাও, ছক কাগজে উপযুক্ত স্কেলে বিন্দুগুলো বসাও এবং সাবলীলভাবে যুক্ত করো।

সাধারণ ভুল হলো $f^{-1}(x)$ কে $\dfrac{1}{f(x)}$ ভাবা। যেমন $f(x)=2x+3$ হলে $f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}$, কিন্তু $\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{2x+3}$; দুটি সম্পূর্ণ আলাদা।

মনে রাখো: কেবল এক-এক সার্বিক ফাংশনের বিপরীত ফাংশন থাকে; $y=ax+b$ সরলরেখা, $y=ax^{2}+bx+c$ ($a\neq0$) পরাবৃত্ত, আর $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ($a>0$) বৃত্তাকার অন্বয়, যা ফাংশন নয়।