প্রত্যেক অন্বয় কি ফাংশন?

না। প্রত্যেক ফাংশন একটি অন্বয়, কিন্তু যে অন্বয়ে কোনো উপাদানের একাধিক প্রতিবিম্ব আছে, সেটি ফাংশন নয়।

{(1, 2), (2, 2), (3, 2)} কি ফাংশন?

হ্যাঁ। প্রত্যেক প্রথম উপাদানের প্রতিবিম্ব একটি; সবার প্রতিবিম্ব একই হলেও সমস্যা নেই।

উচ্চতর গণিত · সেট ও ফাংশন

অন্বয় ও ফাংশনের পার্থক্য (উদাহরণসহ)

সর্বশেষ হালনাগাদ ২২ অক্টোবর ২০২৬

সংক্ষেপে

$A$ থেকে $B$ -তে অন্বয় হলো $A \times B$ -এর যেকোনো উপসেট, অর্থাৎ কিছু ক্রমজোড়ের সেট; এতে $A$ -এর একটি উপাদান $B$ -এর একাধিক উপাদানের সাথে যুক্ত থাকতে পারে। ফাংশন হলো বিশেষ ধরনের অন্বয়, যেখানে $A$ -এর প্রত্যেক উপাদানের সাথে $B$ -এর একটি ও কেবল একটি উপাদান যুক্ত। তাই প্রত্যেক ফাংশন একটি অন্বয়, কিন্তু প্রত্যেক অন্বয় ফাংশন নয়।

অন্বয় ও ফাংশন: পার্থক্যের ছক
তুলনার বিষয়	অন্বয়	ফাংশন
সংজ্ঞা	$A \times B$ -এর যেকোনো উপসেট	যে অন্বয়ে $A$ -এর প্রত্যেক উপাদান $B$ -এর ঠিক একটি উপাদানের সাথে যুক্ত
একটি উপাদানের প্রতিবিম্ব	একাধিক হতে পারে, বা একটিও না-ও থাকতে পারে	ঠিক একটি
ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদান	একই প্রথম উপাদান একাধিক জোড়ে আসতে পারে	একই প্রথম উপাদান দুটি ভিন্ন জোড়ে আসে না
একটি অন্যটির অংশ কি না	সব অন্বয় ফাংশন নয়	প্রত্যেক ফাংশনই একটি অন্বয়
প্রকাশ	$R = \{(x, y) : \ldots\}$	$f : A \to B$ , $y = f(x)$
উদাহরণ	$\{(1, 3), (1, 4), (2, 4)\}$ ; ১-এর প্রতিবিম্ব দুটি	$\{(1, 3), (2, 4)\}$ ; প্রত্যেকের প্রতিবিম্ব একটি

অন্বয় কী?

$A$ ও $B$ দুটি সেট হলে $A \times B$ -এর যেকোনো উপসেটকে $A$ থেকে $B$ -তে একটি অন্বয় বলে। যেমন $A = \{1, 2\}$ , $B = \{3, 4\}$ হলে $A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$ , আর এর যেকোনো অংশ, যেমন $\{(1, 3), (1, 4)\}$ , একটি অন্বয়। অন্বয়ে একটি উপাদানের সাথে কতগুলো উপাদান যুক্ত হবে, তার কোনো বাধা নেই।

ফাংশন কী?

$X$ ও $Y$ অশূন্য সেট হলে, কোনো নিয়মের অধীনে $X$ -এর প্রত্যেক উপাদানের সাথে $Y$ -এর একটি ও কেবল একটি উপাদানকে যুক্ত করলে সেই নিয়মকে $X$ থেকে $Y$ -তে একটি ফাংশন বলে। বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ থেকে পরিসীমা $p = 2\pi r$ একটি ফাংশন, কারণ $r$ -এর প্রত্যেক মানের জন্য $p$ -এর একটিমাত্র মান পাওয়া যায়।

কোন অন্বয় ফাংশন নয়, কীভাবে চিনবে

১. অন্বয়ের সব ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানগুলো দেখো। ২. একই প্রথম উপাদান দুটি ভিন্ন জোড়ে থাকলে (যেমন $(2, 4)$ ও $(2, 5)$ ) অন্বয়টি ফাংশন নয়। ৩. $X$ -এর কোনো উপাদান কোনো জোড়েই না থাকলেও সেটি $X$ থেকে $Y$ -তে ফাংশন নয়।

$x^2 + y^2 = 4$ একটি অন্বয়, কিন্তু ফাংশন নয়: $x = 0$ -এর জন্য $y = 2$ ও $y = -2$ দুটিই পাওয়া যায়।

সাধারণ ভুল

$A$ -এর দুটি উপাদানের প্রতিবিম্ব একই হলে ফাংশন নয় ভাবা। $(1, 3)$ ও $(2, 3)$ থাকলেও এটি ফাংশন হতে পারে; সমস্যা কেবল একই প্রথম উপাদান দুবার এলে।
রেঞ্জ আর কোডোমেনকে এক ধরা। রেঞ্জ হলো কোডোমেনের যে উপাদানগুলো আসলে প্রতিবিম্ব হয়েছে।

পরীক্ষায় যেভাবে লিখবে

পাঠ্যবইয়ের অনুশীলনীর পরিচিত প্রশ্ন: "নিচের কোন অন্বয়টি ফাংশন নয়? যুক্তি দাও।" উত্তরে যে অন্বয়ে একই প্রথম উপাদান দুটি ভিন্ন দ্বিতীয় উপাদানের সাথে আছে, সেই জোড় দুটি লিখে দেখাও। পার্থক্য চাইলে লেখো:

অন্বয়	ফাংশন
১. $A \times B$ -এর যেকোনো উপসেট।	১. বিশেষ অন্বয়, যেখানে প্রত্যেক উপাদানের প্রতিবিম্ব একটি।
২. একটি উপাদানের একাধিক প্রতিবিম্ব থাকতে পারে।	২. প্রত্যেক উপাদানের প্রতিবিম্ব ঠিক একটি।

সৃজনশীলের খ অংশে সাধারণত অন্বয়টি তালিকা পদ্ধতিতে লিখে ডোমেন ও রেঞ্জ বের করতে বলা হয়।

নিজে চালিয়ে দেখো

অনুশীলনের প্রশ্ন

$A=\{-1,0,1\}$ ও $B=\{0,1\}$ । $A$ থেকে $B$ -তে অন্বয় $R=\{(-1,1),(0,0),(1,1)\}$ সম্পর্কে—

i. $R$ একটি ফাংশন।

ii. $R$ একটি এক-এক ফাংশন।

iii. $R$ একটি সার্বিক ফাংশন।

নিচের কোনটি সঠিক?
1. ক
  i ও ii
2. খ
  ii ও iii
3. গ
  i, ii ও iii
4. ঘ
  i ও iii
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ঘ) i ও iii
1. $A$ -এর প্রত্যেক উপাদানের একটিমাত্র প্রতিবিম্ব আছে, তাই $R$ একটি ফাংশন।
2. $-1$ ও $1$ -এর প্রতিবিম্ব একই, তাই ফাংশনটি এক-এক নয়।
3. $B$ -এর প্রত্যেক উপাদান কোনো না কোনো উপাদানের প্রতিবিম্ব, তাই ফাংশনটি সার্বিক। সুতরাং i ও iii সঠিক।
$f(x) = \sqrt{3x - 12}$ ফাংশনটির বাস্তব ডোমেন (Domain) নিচের কোনটি?
1. ক
  {x ∈ ℝ : x > 4}
2. খ
  {x ∈ ℝ : x ≤ 4}
3. গ
  {x ∈ ℝ : x ≥ 12}
4. ঘ
  {x ∈ ℝ : x ≥ 4}
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ঘ) {x ∈ ℝ : x ≥ 4}
1. $f(x) \in \mathbb{R}$ হতে হলে বর্গমূলের ভেতরের রাশিটি অঋণাত্মক হতে হবে, অর্থাৎ $3x - 12 \ge 0$ ।
2. উভয় পক্ষে ১২ যোগ করে ৩ দিয়ে ভাগ করলে পাই $3x \ge 12 \implies x \ge 4$ ।
3. সুতরাং বাস্তব ডোমেন $\text{Dom } f = \{x \in \mathbb{R} : x \ge 4\}$ ।
$f(x)=x^2-4x+5$ ফাংশনের ডোমেন $\{x\in\mathbb{R}:0\leq x\leq5\}$ হলে এর রেঞ্জ কোনটি?
1. ক
  $\{y\in\mathbb{R}:1\leq y\leq10\}$
2. খ
  $\{y\in\mathbb{R}:5\leq y\leq10\}$
3. গ
  $\{y\in\mathbb{R}:0\leq y\leq9\}$
4. ঘ
  $\{y\in\mathbb{R}:1\leq y\leq5\}$
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) $\{y\in\mathbb{R}:1\leq y\leq10\}$
1. পূর্ণবর্গে প্রকাশ করলে $f(x)=(x-2)^2+1$ ।
$x^2-4x+5=(x-2)^2+1$
1. প্রদত্ত ডোমেনে $-2\leq x-2\leq3$ । তাই $(x-2)^2$ রাশিটি $0$ থেকে $9$ পর্যন্ত সব বাস্তব মান গ্রহণ করে।
2. অতএব $f(x)$ রাশিটি $1$ থেকে $10$ পর্যন্ত সব বাস্তব মান গ্রহণ করে, তাই রেঞ্জ $\{y\in\mathbb{R}:1\leq y\leq10\}$ ।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

প্রত্যেক অন্বয় কি ফাংশন?: না। প্রত্যেক ফাংশন একটি অন্বয়, কিন্তু যে অন্বয়ে কোনো উপাদানের একাধিক প্রতিবিম্ব আছে, সেটি ফাংশন নয়।
$\{(1, 2), (2, 2), (3, 2)\}$ কি ফাংশন?: হ্যাঁ। প্রত্যেক প্রথম উপাদানের প্রতিবিম্ব একটি; সবার প্রতিবিম্ব একই হলেও সমস্যা নেই।

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো