ফাঁকা সেট কি প্রকৃত উপসেট?

হ্যাঁ, যেকোনো অশূন্য সেটের। তবে ফাঁকা সেট নিজের প্রকৃত উপসেট নয়।

উচ্চতর গণিত · সেট ও ফাংশন

উপসেট ও প্রকৃত উপসেটের পার্থক্য (উদাহরণসহ)

সর্বশেষ হালনাগাদ ২২ অক্টোবর ২০২৬

সংক্ষেপে

$A$ -এর সব উপাদান $B$ -তে থাকলে $A$ হলো $B$ -এর উপসেট, লেখা হয় $A \subseteq B$ ; প্রত্যেক সেট নিজেরও উপসেট। $A \subseteq B$ এবং সেই সাথে $A \ne B$ হলে $A$ হলো $B$ -এর প্রকৃত উপসেট, লেখা হয় $A \subset B$ ; কোনো সেট নিজের প্রকৃত উপসেট নয়। তাই $n$ টি উপাদানের সেটের উপসেট $2^n$ টি, কিন্তু প্রকৃত উপসেট $2^n - 1$ টি।

উপসেট ও প্রকৃত উপসেট: পার্থক্যের ছক
তুলনার বিষয়	উপসেট	প্রকৃত উপসেট
সংজ্ঞা	$A$ -এর সব উপাদান $B$ -তে আছে	$A \subseteq B$ এবং $A \ne B$
প্রতীক	$\subseteq$	$\subset$
সেট নিজে	প্রত্যেক সেট নিজের উপসেট: $A \subseteq A$	কোনো সেট নিজের প্রকৃত উপসেট নয়
উপাদান সংখ্যা (সান্ত সেটে)	$n(A) \le n(B)$	$n(A) < n(B)$
কয়টি থাকে ( $n$ উপাদানের সেটে)	$2^n$ টি	$2^n - 1$ টি
ফাঁকা সেট $\varnothing$	সব সেটের উপসেট	যেকোনো অশূন্য সেটের প্রকৃত উপসেট
$A = \{1, 2\}$ হলে	$\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}$ (৪টি)	$\varnothing, \{1\}, \{2\}$ (৩টি)

উপসেট

কোনো সেট $A$ -এর প্রত্যেকটি উপাদান যদি সেট $B$ -তেও থাকে, তবে $A$ -কে $B$ -এর উপসেট বলে এবং লেখা হয় $A \subseteq B$ । এই সংজ্ঞায় $A$ আর $B$ সমান হলেও কোনো বাধা নেই, তাই প্রত্যেক সেট নিজের উপসেট। ফাঁকা সেট $\varnothing$ -এ কোনো উপাদানই নেই যা $B$ -এর বাইরে থাকবে, তাই $\varnothing$ সব সেটের উপসেট।

প্রকৃত উপসেট

$A$ -কে $B$ -এর প্রকৃত উপসেট বলা হয় যদি ও কেবল যদি $A \subseteq B$ এবং $A \ne B$ ; লেখা হয় $A \subset B$ । অর্থাৎ $B$ -তে অন্তত একটি উপাদান থাকতে হবে যা $A$ -তে নেই।

কয়টি উপসেট, কয়টি প্রকৃত উপসেট

$A = \{a, b, c\}$ হলে প্রতিটি উপাদান একটি উপসেটে থাকতে পারে বা না-ও থাকতে পারে, তাই উপসেট $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ টি। এগুলোর সেটই শক্তি সেট $P(A)$ । এই ৮টি থেকে $A$ নিজেকে বাদ দিলে প্রকৃত উপসেট $2^3 - 1 = 7$ টি।

সাধারণ ভুল

$\subseteq$ আর $\subset$ গুলিয়ে ফেলা। নিচে দাগ মানে "সমানও হতে পারে", যেমন $\le$ -এর নিচে দাগ।
প্রকৃত উপসেট গুনতে গিয়ে ফাঁকা সেটও বাদ দেওয়া। বাদ যায় কেবল সেট নিজে; মূল সেটটি অশূন্য হলে $\varnothing$ প্রকৃত উপসেট হিসেবে থাকে।

পরীক্ষায় যেভাবে লিখবে

MCQ-তে প্রায়ই আসে " $n$ টি উপাদানবিশিষ্ট সেটের প্রকৃত উপসেট কয়টি?" উত্তর $2^n - 1$ । সৃজনশীলের ক অংশে কোনো সেটের শক্তি সেট বা প্রকৃত উপসেটগুলো লিখতে বলা হয়; সব উপসেট লিখে তারপর সেট নিজেকে বাদ দাও। পার্থক্য চাইলে লেখো:

উপসেট	প্রকৃত উপসেট
১. প্রতীক $\subseteq$ ।	১. প্রতীক $\subset$ ।
২. সেট নিজেও উপসেট।	২. সেট নিজে প্রকৃত উপসেট নয়।

নিজে চালিয়ে দেখো

অনুশীলনের প্রশ্ন

যদি $A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 \le 16\}$ হয়, তবে সেট $A$ -এর প্রকৃত উপসেট (Proper subset) সংখ্যা কত?
1. ক
  ১৬
2. খ
  ১৫
3. গ
  ৮
4. ঘ
  ১৪
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
খ) ১৫
1. $x \in \mathbb{N}$ এবং $x^2 \le 16$ শর্ত অনুসারে স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো $x = ১, ২, ৩, ৪$ । সুতরাং $A = \{1, 2, 3, 4\}$ এবং এর উপাদান সংখ্যা $n = ৪$ ।
$A = \{1, 2, 3, 4\} \implies n = 4$
1. কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে তার মোট উপসেট সংখ্যা $2^n$ এবং প্রকৃত উপসেট সংখ্যা $2^n - ১$ ।
$2^n - 1$
1. সুতরাং সেট $A$ -এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = $২^৪ - ১ = ১৬ - ১ = ১৫$ ।
$2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$
দুটি সসীম সেট $A$ ও $B$ -এর জন্য $n(A)=3$ , $n(B)=4$ এবং $n(A\cap B)=2$ । $A\cup B$ -এর শক্তি সেটের উপাদানসংখ্যা কত?
1. ক
  $16$
2. খ
  $24$
3. গ
  $32$
4. ঘ
  $128$
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
গ) $32$
1. সংযোগ সেটের উপাদানসংখ্যা নির্ণয়ে সাধারণ উপাদানগুলোর সংখ্যা একবার বিয়োগ করতে হয়।
$n(A\cup B)=3+4-2=5$
1. $5$ টি উপাদানবিশিষ্ট সেটের শক্তি সেটে $2^5=32$ টি উপাদান থাকে।
$n(P(A\cup B))=2^5=32$
দুটি সসীম সেট সমতুল হওয়ার শর্ত কোনটি?
1. ক
  সেট দুটির উপাদানগুলো অভিন্ন হতে হবে।
2. খ
  সেট দুটির উপাদানসংখ্যা সমান হতে হবে।
3. গ
  সেট দুটির অন্তত একটি সাধারণ উপাদান থাকতে হবে।
4. ঘ
  একটি সেট অপর সেটের প্রকৃত উপসেট হতে হবে।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
খ) সেট দুটির উপাদানসংখ্যা সমান হতে হবে।
1. দুটি সসীম সেটের উপাদানসংখ্যা সমান হলে সেট দুটিকে সমতুল সেট বলে; উপাদানগুলো অভিন্ন হওয়া আবশ্যক নয়।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

৩টি উপাদানের সেটের প্রকৃত উপসেট কয়টি?: $2^3 - 1 = 7$ টি।
ফাঁকা সেট কি প্রকৃত উপসেট?: হ্যাঁ, যেকোনো অশূন্য সেটের। তবে ফাঁকা সেট নিজের প্রকৃত উপসেট নয়।

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো