সার্বিক সেট, উপসেট, পূরক সেট ও শক্তি সেট

কোনো আলোচনায় যে সেটের উপসেট হিসেবে অন্য সব সেট বিবেচনা করা হয়, তাকে সার্বিক সেট বলে এবং সাধারণত $U$ দিয়ে প্রকাশ করা হয়। যেমন কোনো শ্রেণির শিক্ষার্থীদের নিয়ে আলোচনায় ঐ শ্রেণির সব শিক্ষার্থীর সেট সার্বিক সেট হতে পারে।

উপসেট: $A$ সেটের প্রতিটি উপাদান $B$ সেটেরও উপাদান হলে $A$ কে $B$ এর উপসেট বলে, লেখা হয় $A\subseteq B$। প্রতিটি সেট নিজের উপসেট, আর ফাঁকা সেট $\varnothing$ যেকোনো সেটের উপসেট। $A\subseteq B$ কিন্তু $A\neq B$ হলে $A$ কে $B$ এর প্রকৃত উপসেট বলে, লেখা হয় $A\subset B$।

পূরক সেট: সার্বিক সেট $U$ এর যে উপাদানগুলো $A$ তে নেই, তাদের সেটকে $A$ এর পূরক সেট বলে: $A'=\{x: x\in U \text{ এবং } x\notin A\}$। এটি আসলে $U\setminus A$।

শক্তি সেট: $A$ সেটের সব উপসেটের সেটকে $A$ এর শক্তি সেট বলে এবং $P(A)$ লেখা হয়। যেহেতু $\varnothing\subseteq A$, তাই $\varnothing$ ও $P(A)$ এর একটি উপাদান। $A$ এর উপাদান সংখ্যা $n$ হলে $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^{n}$।

উদাহরণ: $U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ এবং $A=\{2, 4, 6\}$ হলে $A'=\{1, 3, 5\}$। আবার $B=\{a, b, c\}$ হলে এর উপসেটগুলো: $\varnothing$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$, $\{a, b\}$, $\{a, c\}$, $\{b, c\}$, $\{a, b, c\}$। তাই $P(B)$ এ উপাদান $8$টি, যা $2^{3}=8$ এর সঙ্গে মেলে। এদের মধ্যে $\{a, b, c\}$ বাদে বাকি $7$টি $B$ এর প্রকৃত উপসেট।

প্রতিটি উপাদান একটি উপসেটে "থাকতে পারে" বা "না থাকতে পারে", এই দুটি সুযোগ থেকেই $2^{n}$ সংখ্যাটি আসে: $3$টি উপাদানের জন্য $2\times2\times2=8$।

সাধারণ ভুল হলো শক্তি সেট লেখার সময় $\varnothing$ ও মূল সেটটি বাদ দেওয়া। দুটিই শক্তি সেটের উপাদান। আরেকটি ভুল হলো উপাদান আর উপসেট গুলিয়ে ফেলা: $a\in B$, কিন্তু $\{a\}\subseteq B$।

মনে রাখো: পূরক সেট হলো $U$ এর যে অংশ $A$ তে নেই; শক্তি সেট হলো সব উপসেটের সেট, যার উপাদান সংখ্যা $2^{n}$।