সেটের সংযোগের শক্তি সেট

সংযোগ সেটের শক্তি সেটে কতগুলো উপাদান থাকবে তা জানতে আগে $n(A\cup B)$ জানতে হয়, কারণ কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $k$ হলে তার শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা $2^{k}$।

নিঃচ্ছেদ সেটের ক্ষেত্রে: $A\cap B=\varnothing$ হলে $A$ ও $B$ কে নিঃচ্ছেদ সেট বলে। তখন $n(A\cup B)=n(A)+n(B)$। একইভাবে পরস্পর নিঃচ্ছেদ তিনটি সান্ত সেটের জন্য $n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)$।

যেকোনো দুটি সান্ত সেটের ক্ষেত্রে:

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

ভেনচিত্রে $A\setminus B$, $A\cap B$ ও $B\setminus A$ তিনটি পরস্পর নিঃচ্ছেদ অংশ, আর এদের সংযোগই $A\cup B$। $n(A)$ ও $n(B)$ যোগ করলে মাঝের অংশ $A\cap B$ দুবার গোনা হয়, তাই একবার বিয়োগ করতে হয়।

ফলে $P(A\cup B)$ এর উপাদান সংখ্যা $=2^{\,n(A)+n(B)-n(A\cap B)}$।

উদাহরণ: $A=\{1, 2, 3\}$ ও $B=\{3, 4\}$।

1. $n(A)=3$, $n(B)=2$, $A\cap B=\{3\}$, তাই $n(A\cap B)=1$।
2. $n(A\cup B)=3+2-1=4$। যাচাই: $A\cup B=\{1, 2, 3, 4\}$, সত্যিই $4$টি উপাদান।
3. $P(A\cup B)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^{4}=16$।

লক্ষ করো, $P(A)$ এ $2^{3}=8$টি এবং $P(B)$ এ $2^{2}=4$টি উপাদান; কিন্তু $P(A\cup B)$ এ $8+4=12$ নয়, $16$টি উপাদান। কারণ $\{1, 4\}$ এর মতো উপসেট আছে, যেগুলো $A$ বা $B$ কোনোটির উপসেট নয়, কিন্তু $A\cup B$ এর উপসেট।

সাধারণ ভুল হলো $n(A\cup B)$ বের করতে সরাসরি $n(A)+n(B)$ যোগ করা, যখন সেট দুটি নিঃচ্ছেদ নয়। সাধারণ উপাদান থাকলে $n(A\cap B)$ বিয়োগ করতেই হবে।

মনে রাখো: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$, আর $P(A\cup B)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^{\,n(A\cup B)}$; নিঃচ্ছেদ সেটে $n(A\cap B)=0$।