রাজশাহীর একটি বিদ্যালয়ের স্পোর্টস ক্লাবে ৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ৩০ জন ক্রিকেট এবং ২৫ জন ফুটবল খেলে। ১০ জন শিক্ষার্থী উভয় খেলাই খেললে, কতজন শিক্ষার্থী শুধু ফুটবল খেলে?

সঠিক উত্তর: গ) ১৫। মোট ফুটবল খেলোয়াড় সংখ্যা n(F) = ২৫ এবং উভয় খেলা খেলে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা n(C ∩ F) = ১০। শুধু ফুটবল খেলে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা n(F ∖ C) = n(F) - n(C ∩ F)। অতএব শুধু ফুটবল খেলে = ২৫ - ১০ = ১৫ জন।

বগুড়ার একটি কৃষি গবেষণা খামারে মোট ১৫০ m² জমিতে উচ্চফলনশীল ধান ও পাটের পরীক্ষামূলক চাষ করা হলো। এর মধ্যে ৯৫ m² জমিতে ধান এবং ৮০ m² জমিতে পাট চাষ করা হয়। উভয় ফসলই চাষ করা হয় এমন জমির পরিমাণ ৪৫ m² হলে, খামারটির কত বর্গমিটার জমিতে এই দুই ফসলের কোনোটিই চাষ করা হয়নি?

সঠিক উত্তর: ২০ m²। মোট জমি n(U) = ১৫০ m², ধান চাষের জমি n(R) = ৯৫ m², পাট চাষের জমি n(J) = ৮০ m² এবং উভয় ফসলের জমি n(R ∩ J) = ৪৫ m²। অন্তত একটি ফসল চাষ করা হয়েছে এমন জমির পরিমাণ n(R ∪ J) = n(R) + n(J) - n(R ∩ J) = ৯৫ + ৮০ - ৪৫ = ১৩০ m²। কোনো ফসলই চাষ করা হয়নি এমন জমি n((R ∪ J)') = n(U) - n(R ∪ J) = ১৫০ - ১৩০ = ২০ m²।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১ · টপিক ৬

বাস্তব সমস্যা সমাধানে সেট

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

বাস্তব জীবনের অনেক গণনার সমস্যা সেট ও ভেনচিত্র দিয়ে সহজে সমাধান করা যায়। কৌশলটি হলো প্রতিটি দলকে একটি সেট ধরা, তারপর $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ সূত্র ও ভেনচিত্রের অংশগুলো কাজে লাগানো।

ভেনচিত্রের চারটি অংশ মনে রাখো:

শুধু $A$ : $A\setminus B$ , যার উপাদান সংখ্যা $n(A)-n(A\cap B)$ ।
দুটিতেই: $A\cap B$ ।
শুধু $B$ : $B\setminus A$ , যার উপাদান সংখ্যা $n(B)-n(A\cap B)$ ।
কোনোটিতেই নয়: $(A\cup B)'$ , যার উপাদান সংখ্যা $n(U)-n(A\cup B)$ ।

উদাহরণ: একটি শ্রেণির $60$ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে $40$ জন ফুটবল, $25$ জন ক্রিকেট এবং $10$ জন দুটিই পছন্দ করে। কতজন কোনোটিই পছন্দ করে না, এবং কতজন শুধু ফুটবল পছন্দ করে?

ধরি $U$ শ্রেণির সব শিক্ষার্থীর সেট, $F$ ফুটবল ও $C$ ক্রিকেট পছন্দকারীদের সেট। তাহলে $n(U)=60$ , $n(F)=40$ , $n(C)=25$ , $n(F\cap C)=10$ ।

$n(F\cup C)=40+25-10=55$ ; অর্থাৎ $55$ জন অন্তত একটি খেলা পছন্দ করে।
কোনোটিই পছন্দ করে না: $n(U)-n(F\cup C)=60-55=5$ জন।
শুধু ফুটবল: $n(F\setminus C)=40-10=30$ জন; শুধু ক্রিকেট: $25-10=15$ জন।

যাচাই: $30+10+15+5=60$ , যা মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা। এখানে সব সংখ্যা মানুষের গণনা, তাই কোনো একক নেই।

একইভাবে ভাষা, পত্রিকা পড়া বা পরীক্ষায় পাসের হিসাবও করা যায়। যেমন $50$ জনের মধ্যে $35$ জন ইংরেজি বলতে পারে, $25$ জন বাংলা ও ইংরেজি দুটিই পারে এবং সবাই অন্তত একটি ভাষা পারে; তাহলে $50=35+n(B)-25$ থেকে বাংলা বলতে পারে $40$ জন।

সাধারণ ভুল হলো "দুটিই পছন্দ করে" এমন শিক্ষার্থীদের ফুটবল ও ক্রিকেট দুই দলেই আলাদা করে গুনে মোট সংখ্যা বেশি পাওয়া। ভেনচিত্র এঁকে প্রতিটি অংশে সংখ্যা বসালে এ ভুল এড়ানো যায়।

মনে রাখো: বাস্তব সমস্যায় দলগুলোকে সেট ধরে ভেনচিত্র আঁকো এবং $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ ব্যবহার করো; শেষে সব অংশ যোগ করে যাচাই করো।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

কারা কোন খেলা খেলে?চালিয়ে দেখো
নবম শ্রেণির ৪০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ২০ জন ক্রিকেট খেলে, ১৫ জন ফুটবল খেলে, আর ৫ জন দুটোই খেলে। কতজন কোনো খেলাই খেলে না?

অনুশীলনের প্রশ্ন

রাজশাহীর একটি বিদ্যালয়ের স্পোর্টস ক্লাবে ৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ৩০ জন ক্রিকেট এবং ২৫ জন ফুটবল খেলে। ১০ জন শিক্ষার্থী উভয় খেলাই খেললে, কতজন শিক্ষার্থী শুধু ফুটবল খেলে?
1. ক
  ২৫
2. খ
  ২০
3. গ
  ১৫
4. ঘ
  ৫
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
গ) ১৫
1. মোট ফুটবল খেলোয়াড় সংখ্যা $n(F) = ২৫$ এবং উভয় খেলা খেলে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা $n(C \cap F) = ১০$ ।
$n(F) = 25, \; n(C \cap F) = 10$
1. শুধু ফুটবল খেলে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা $n(F \setminus C) = n(F) - n(C \cap F)$ ।
2. অতএব শুধু ফুটবল খেলে = $২৫ - ১০ = ১৫$ জন।
$n(F \setminus C) = 25 - 10 = 15$
বগুড়ার একটি কৃষি গবেষণা খামারে মোট ১৫০ m² জমিতে উচ্চফলনশীল ধান ও পাটের পরীক্ষামূলক চাষ করা হলো। এর মধ্যে ৯৫ m² জমিতে ধান এবং ৮০ m² জমিতে পাট চাষ করা হয়। উভয় ফসলই চাষ করা হয় এমন জমির পরিমাণ ৪৫ m² হলে, খামারটির কত বর্গমিটার জমিতে এই দুই ফসলের কোনোটিই চাষ করা হয়নি?
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
২০ m²
1. মোট জমি $n(U) = ১৫০\text{ m}^2$ , ধান চাষের জমি $n(R) = ৯৫\text{ m}^2$ , পাট চাষের জমি $n(J) = ৮০\text{ m}^2$ এবং উভয় ফসলের জমি $n(R \cap J) = ৪৫\text{ m}^2$ ।
$n(U) = 150, \; n(R) = 95, \; n(J) = 80, \; n(R \cap J) = 45$
1. অন্তত একটি ফসল চাষ করা হয়েছে এমন জমির পরিমাণ $n(R \cup J) = n(R) + n(J) - n(R \cap J) = ৯৫ + ৮০ - ৪৫ = ১৩০\text{ m}^2$ ।
$n(R \cup J) = 95 + 80 - 45 = 130$
1. কোনো ফসলই চাষ করা হয়নি এমন জমি $n((R \cup J)') = n(U) - n(R \cup J) = ১৫০ - ১৩০ = ২০\text{ m}^2$ ।
$n((R \cup J)') = 150 - 130 = 20$

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো