অন্বয় এবং ফাংশন এর ধারণা

দুটি সেট $A$ ও $B$ এর কার্তেসীয় গুণজ সেট $A\times B$ হলো সব ক্রমজোড় $(x, y)$ এর সেট, যেখানে $x\in A$ এবং $y\in B$। যেমন $A=\{1, 2\}$, $B=\{3, 4\}$ হলে $A\times B=\{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$।

অন্বয়: $A$ থেকে $B$ তে একটি অন্বয় $R$ হলো $A\times B$ এর একটি উপসেট। অর্থাৎ কোনো নিয়ম মেনে $A$ এর উপাদানকে $B$ এর উপাদানের সঙ্গে জোড়া বানালে তা একটি অন্বয়। $(x, y)\in R$ হলে লেখা হয় $xRy$।

ফাংশন: যে অন্বয়ে $A$ এর প্রতিটি উপাদানের সঙ্গে $B$ এর একটি ও কেবল একটি উপাদানের মিল থাকে, তাকে $A$ থেকে $B$ তে ফাংশন বলে এবং $f: A\to B$ লেখা হয়। $x$ এর সঙ্গে মেলানো উপাদানকে $x$ এর প্রতিবিম্ব বলে এবং $f(x)$ লেখা হয়। ফাংশন হতে হলে দুটি শর্ত: $A$ এর কোনো উপাদান বাদ পড়বে না, আর কোনো উপাদানের দুটি ভিন্ন প্রতিবিম্ব থাকবে না।

উদাহরণ: $A=\{1, 2, 3\}$ এবং $B=\{2, 4, 6, 8\}$।

• $R_1=\{(x, y): y=2x\}=\{(1, 2), (2, 4), (3, 6)\}$। $A$ এর প্রতিটি উপাদানের একটিমাত্র প্রতিবিম্ব আছে, তাই এটি ফাংশন। $B$ এর $8$ কারও প্রতিবিম্ব না হলেও সমস্যা নেই।
• $R_2=\{(1, 2), (1, 4), (2, 6)\}$ ফাংশন নয়, কারণ $1$ এর দুটি প্রতিবিম্ব ($2$ ও $4$) এবং $3$ এর কোনো প্রতিবিম্ব নেই।

একটি দৈনন্দিন উদাহরণ: স্কুলের প্রতিটি শিক্ষার্থীর একটিমাত্র রোল নম্বর থাকে, তাই "শিক্ষার্থী থেকে রোল নম্বর" একটি ফাংশন। কিন্তু "শিক্ষার্থী থেকে তার পছন্দের খেলা" ফাংশন না-ও হতে পারে, কারণ একজনের একাধিক পছন্দের খেলা থাকতে পারে।

সাধারণ ভুল হলো ভাবা যে $B$ এর প্রতিটি উপাদানকে কারও প্রতিবিম্ব হতে হবে, অথবা দুটি ভিন্ন উপাদানের একই প্রতিবিম্ব হলে ফাংশন হয় না। ফাংশনে $B$ এর কিছু উপাদান বাদ থাকতে পারে, এবং দুটি উপাদানের একই প্রতিবিম্বও হতে পারে।

মনে রাখো: অন্বয় হলো $A\times B$ এর উপসেট; ফাংশন এমন অন্বয় যেখানে $A$ এর প্রতিটি উপাদানের ঠিক একটি প্রতিবিম্ব থাকে।