ফাংশন এর ডোমেন ও রেঞ্জ

ডোমেন হলো ফাংশনের জন্য নির্ধারিত সব গ্রহণযোগ্য ইনপুটের সেট। কো-ডোমেন হলো যে সেটে ফাংশনের আউটপুটগুলো থাকার কথা। রেঞ্জ হলো ডোমেনের উপাদানগুলো বসিয়ে বাস্তবে পাওয়া সব আউটপুটের সেট। কো-ডোমেনের প্রত্যেক সদস্য যে আউটপুট হিসেবে পাওয়া যাবেই, এমন নয়।

$f:X\to Y$ লিখলে $f$ ফাংশন, $X$ ডোমেন এবং $Y$ কো-ডোমেন বোঝায়। $y=f(x)$-এ $x$ ইনপুট এবং $y$ তার ইমেজ বা আউটপুট। তাই $\operatorname{range}f=\{f(x):x\in X\}\subseteq Y$। এখানে $\subseteq$ উপসেট বোঝায়।

ধাপে ধাপে উদাহরণ: ধরি, $f:X\to Y$, যেখানে $X=\{1,2,3\}$, $Y=\{1,2,3,4\}$ এবং $f(x)=x+1$।

• প্রথমে নির্দেশিত ইনপুটের সেট পড়ো: ডোমেন $X=\{1,2,3\}$।
• প্রতিটি ইনপুট সূত্রে বসাও: $f(1)=1+1=2$, $f(2)=2+1=3$, $f(3)=3+1=4$।
• পাওয়া আউটপুটগুলো একত্র করো: রেঞ্জ $\{2,3,4\}$।
• কো-ডোমেন $Y=\{1,2,3,4\}$ হলেও তার সদস্য $1$ কোনো ইনপুটের আউটপুট নয়; তাই রেঞ্জে নেই।

তীরচিত্রে বাম পাশের সেটটি ডোমেন এবং ডান পাশের সেটটি কো-ডোমেন। বামের প্রত্যেক উপাদান থেকে ঠিক একটি তীর যায়। ডান পাশের যে উপাদানগুলোতে তীর পৌঁছায়, সেগুলো মিলে রেঞ্জ। ক্রমজোড় দিয়ে ফাংশন দেওয়া থাকলে প্রথম অংশকগুলো থেকে ডোমেন এবং দ্বিতীয় অংশকগুলো থেকে রেঞ্জ পাওয়া যায়। কোনো মান বারবার এলে সেটে একবারই লিখবে।

ডোমেন আলাদা করে দেওয়া না থাকলে কোন কোন বাস্তব ইনপুটে সূত্রটি সংজ্ঞায়িত, তা দেখতে হবে। যেমন, $f(x)=\sqrt{x}$-এর জন্য $x\geq0$ দরকার। এখানে $x$ ইনপুট; ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল বাস্তব সংখ্যা নয়। তাই ডোমেন $\{x\in R:x\geq0\}$ এবং রেঞ্জ $\{y\in R:y\geq0\}$, যেখানে $R$ বাস্তব সংখ্যার সেট। কো-ডোমেন হিসেবে $R$ নেওয়া যায়। ভগ্নাংশযুক্ত সূত্রে হর শূন্য করে এমন ইনপুট বাদ দিতে হয়। তবে ডোমেন আগেই নির্দিষ্ট থাকলে সেই সেটের মধ্যেই কাজ করবে।

মনে রাখো: ডোমেন গ্রহণযোগ্য ইনপুটের সেট, রেঞ্জ প্রাপ্ত আউটপুটের সেট এবং রেঞ্জ সর্বদা কো-ডোমেনের উপসেট।