উচ্চতর গণিতের সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর লেখার নিয়ম

গণিতের সৃজনশীল প্রশ্ন আলাদা কেন

বিজ্ঞানের সৃজনশীল প্রশ্নে চারটি অংশ থাকে, কিন্তু গণিত আর উচ্চতর গণিতে অংশ তিনটি: ক-তে ২, খ-তে ৪ আর গ-তে ৪ নম্বর, মোট ১০। একটি উদ্দীপক থাকে, যা হতে পারে একটি রাশি, সমীকরণ, চিত্র বা তথ্য। প্রায়ই ক সহজ ও সরাসরি, আর খ ও গ-তে উদ্দীপকের তথ্য দিয়ে কয়েক ধাপের সমাধান লাগে। কোন বিষয়ে কয়টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে, তা বোর্ডের সর্বশেষ বিজ্ঞপ্তি থেকে দেখে নিয়ো।

গণিতে নম্বর আসে ধাপে। শেষ উত্তর ভুল হলেও সঠিক সূত্র, সঠিক প্রতিস্থাপন আর সঠিক যুক্তির ধাপগুলোর জন্য নম্বর পাওয়া যায়। তাই কোনো ধাপ মনে মনে করে বাদ দেবে না।

ক (২ নম্বর) লেখার নিয়ম

• সাধারণত একটি ছোট হিসাব, একটি শর্ত, একটি মান বা একটি সরল প্রমাণ।
• দুই-তিন লাইনে শেষ করো, তবে সূত্র আর উত্তর দুটোই লিখবে: সূত্র বা পদ্ধতিতে ১, সঠিক উত্তরে ১, এমনটাই সাধারণ।

খ ও গ (৪ নম্বর করে) লেখার নিয়ম

১. প্রশ্নটি উদ্দীপকের কোন অংশ ব্যবহার করতে বলছে, তা চিহ্নিত করো। ২. প্রয়োজনীয় সূত্র বা উপপাদ্য লেখো। ৩. উদ্দীপকের মান বসিয়ে ধাপে ধাপে সমাধান করো; প্রতি লাইনে একটি করে কাজ। ৪. শেষে উত্তর আলাদা করে লেখো, আর শর্ত থাকলে যাচাই করো যে উত্তর শর্ত মানে।

খ অংশের উত্তর থেকে প্রায়ই গ-এর জন্য কিছু পাওয়া যায়। খ না পারলেও গ শুরু করো: প্রয়োজনে খ-এর ফল ধরে নিয়ে এগোনো যায়, আর ধাপের নম্বর পাওয়া যায়।

জ্যামিতি, অঙ্কন ও প্রমাণ

• চিত্র আঁকো। জ্যামিতির উত্তরে পেনসিল-স্কেলে পরিষ্কার চিত্র দাও, বিন্দুগুলোর নাম উদ্দীপকের মতো রাখো।
• অঙ্কনে বিবরণ ধাপে ধাপে লেখো: কোন রেখা কাটলে, কোন বৃত্তচাপ আঁকলে। অঙ্কনচিহ্ন মুছবে না।
• প্রমাণে প্রতিটি লাইনের পাশে কারণ লেখো (যেমন "একান্তর কোণ", "পিথাগোরাসের উপপাদ্য")। কারণ ছাড়া লাইন নম্বর পায় না।
• ত্রিকোণমিতি ও স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে কোণটি কোন চতুর্ভাগে বা বিন্দু কোন দিকে, তা উল্লেখ করো; চিহ্নের ভুলই এখানে সবচেয়ে বেশি।

একটি পূর্ণ উদাহরণ

উদ্দীপক: $1 + (x - 1) + (x - 1)^2 + (x - 1)^3 + \ldots$ একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, এবং $0.\dot{4}\dot{5}$ একটি আবৃত্ত দশমিক।

ক) ধারাটির সমষ্টি থাকার জন্য $x$-এর মানের সীমা নির্ণয় করো। (২)

ধারাটির সাধারণ অনুপাত $r = x - 1$। অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি থাকার শর্ত $|r| < 1$, অর্থাৎ $-1 < x - 1 < 1$, বা $0 < x < 2$।

খ) ধারাটির সমষ্টি $4$ হলে $x$-এর মান নির্ণয় করো। (৪)

এখানে $a = 1$, $r = x - 1$। সমষ্টি

$$S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - (x - 1)} = \frac{1}{2 - x}$$

প্রশ্নমতে $\frac{1}{2 - x} = 4$, বা $2 - x = \frac{1}{4}$, অতএব $x = \frac{7}{4}$।

যাচাই: $r = \frac{7}{4} - 1 = \frac{3}{4}$, আর $|r| < 1$, তাই সমষ্টি আছে। নির্ণেয় $x = \frac{7}{4}$।

গ) $0.\dot{4}\dot{5}$-কে অসীম গুণোত্তর ধারায় প্রকাশ করে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করো। (৪)

$$0.\dot{4}\dot{5} = 0.454545\ldots = \frac{45}{100} + \frac{45}{10000} + \frac{45}{1000000} + \ldots$$

এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, যার $a = \frac{45}{100}$ এবং $r = \frac{1}{100}$; যেহেতু $|r| < 1$, সমষ্টি আছে:

$$S_\infty = \frac{\frac{45}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{45}{100} \times \frac{100}{99} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$$

নির্ণেয় ভগ্নাংশ $\frac{5}{11}$।

নম্বর সাধারণত যেভাবে আসে: ক-তে শর্ত লেখায় ১, সীমা বের করায় ১। খ-তে $a$ ও $r$ চিহ্নিত করায় ১, সূত্রে ১, সমীকরণ সমাধানে ১, শর্ত যাচাই করে উত্তরে ১। গ-তে ধারায় প্রকাশে ১, $a$ ও $r$-এ ১, সূত্রে বসানোয় ১, লঘিষ্ঠ আকারে উত্তরে ১।

সাধারণ ভুল

• ক-তে শুধু উত্তর লেখা, সূত্র বা যুক্তি না দেখানো।
• অসীম গুণোত্তর ধারায় $|r| < 1$ যাচাই না করে সমষ্টির সূত্র বসানো।
• জ্যামিতিক প্রমাণে কারণ না লেখা।
• দুই লাইনের কাজ এক লাইনে করে ফেলা; ভুল হলে কোন ধাপে ভুল, পরীক্ষক তা দেখতে পান না।
• ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে না নেওয়া।

অনুশীলনের কৌশল

প্রতিটি অধ্যায়ের পুরনো বোর্ড প্রশ্ন থেকে অন্তত তিনটি সৃজনশীল প্রশ্ন ঘড়ি ধরে লেখো: একটির জন্য মোটামুটি ২০–২৫ মিনিট। লেখার পর নিজে আবার পড়ো, আর দেখো প্রতিটি লাইনে নম্বর পাওয়ার মতো কিছু আছে কি না। ধারণা ঝাপসা লাগলে offSchool-এর সিমুলেশন চালিয়ে দেখো, যেমন অর্ধেক করে কেক খেতে থাকলে মোট কতটা হয়।