অর্ধেক কেক খাওয়ার ধাঁধা

একটি গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত r এর পরমমান ১ এর চেয়ে ছোট হলে (|r| < 1), পদ সংখ্যা n যত বাড়ে, n-তম পদ তত শূন্যের কাছাকাছি পৌঁছায় (rⁿ → ০)। ফলে অসীম সংখ্যক পদ যোগ করলেও সমষ্টি অসীম হয় না, বরং একটি নির্দিষ্ট সীমার দিকে অগ্রসর হয়। একে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি (S∞) বলে। এখানে প্রথম পদ a = ১/২ এবং সাধারণ অনুপাত r = ১/২ হওয়ায়, অসীমতক সমষ্টি S∞ = a / (১ − r) = (১/২) / (১ − ১/২) = ১। অর্থাৎ অনন্তকাল ধরে খেলেও মোট খাওয়া কখনোই পুরো ১টি কেককে ছাড়িয়ে যাবে না, ঠিক ১ হবে।

অনেকে মনে করে অসীম সংখ্যক পদ যোগ করলেই সমষ্টি অসীম হয়ে যাবে অথবা যেকোনো সীমা পার করবে। কিন্তু এখানে প্রতি ধাপে যোগ হওয়া টুকরোটি আগের টুকরোর অর্ধেক হয়ে দ্রুত শূন্যের কাছাকাছি যাচ্ছে (১/২, ১/৪, ১/৮, ১/১৬...)। প্রতি ধাপ শেষে কিছুটা কেক অবশিষ্ট থাকে (১ম ধাপে ১/২, ২য় ধাপে ১/৪, ৩য় ধাপে ১/৮), যা কখনো শূন্য বা ঋণাত্মক হয় না। তাই আংশিক সমষ্টি Sₙ = ১ − (১/২)ⁿ সর্বদা ১ এর চেয়ে ছোট থাকে এবং কখনোই ১ অতিক্রম করতে পারে না।