অসীম ধারা

$A = 0.2\dot{3}\dot{5} = 0.2353535\dots = 0.2 + 0.035 + 0.00035 + 0.0000035 + \dots$। এখানে দশমিকের পরের অংশ একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ $a = 0.035$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{0.00035}{0.035} = 0.01$। যেহেতু $|r| = 0.01 < 1$, তাই ধারাটির অসীমতক সমষ্টি $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{0.035}{1 - 0.01} = \frac{0.035}{0.99} = \frac{35}{990}$। অতএব $A = 0.2 + \frac{35}{990} = \frac{2}{10} + \frac{35}{990} = \frac{198 + 35}{990} = \frac{233}{990}$।

ধারাটির ১ম পদ $a = \frac{1}{3x + 1}$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{1/(3x + 1)^2}{1/(3x + 1)} = \frac{1}{3x + 1}$। ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ও কেবল যদি $|r| < 1$ হয়, অর্থাৎ $|\frac{1}{3x + 1}| < 1 \implies |3x + 1| > 1$। এর থেকে পাই: হয় $3x + 1 > 1 \implies 3x > 0 \implies x > 0$, অথবা $3x + 1 < -1 \implies 3x < -2 \implies x < -\frac{2}{3}$। সুতরাং নির্ণেয় শর্ত: $x > 0$ অথবা $x < -\frac{2}{3}$।

অসীমতক সমষ্টি $S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{3x + 1}}{1 - \frac{1}{3x + 1}} = \frac{\frac{1}{3x + 1}}{\frac{3x + 1 - 1}{3x + 1}} = \frac{\frac{1}{3x + 1}}{\frac{3x}{3x + 1}} = \frac{1}{3x}$। শর্তানুসারে, $S_\infty = \frac{1}{5} \implies \frac{1}{3x} = \frac{1}{5} \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}$। প্রাপ্ত মান $x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} > 0$। যেহেতু (খ)-এর শর্ত ছিল $x > 0$ অথবা $x < -\frac{2}{3}$, তাই $x = \frac{5}{3}$ স্পষ্টতই শর্তটিকে সিদ্ধ করে।