রাজশাহীতে আরিফের জন্মদিনের অনুষ্ঠানে একটি কেক কেটে পরিবেশন করা হচ্ছে। আরিফ প্রথমে কেকের 1/2 অংশ খেল। পরবর্তী ধাপে সে অবশিষ্টের অর্ধেক অর্থাৎ 1/4 অংশ, তার পরের ধাপে আবার অবশিষ্টের অর্ধেক অর্থাৎ 1/8 অংশ খেল। সে যদি এভাবে চলতে থাকা অসীম গুণোত্তর ধারার (Infinite geometric series) নিয়ম অনুসারে অনন্তকাল ধরে কেক খেতে থাকে, তবে সে সর্বমোট কত অংশ কেক খাবে?

সঠিক উত্তর: ক) ১ (পুরো কেক)। কেক খাওয়ার অংশগুলো নিয়ে গঠিত ধারাটি হলো 1/2 + 1/4 + 1/8 + …। এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ a = 1/2 এবং সাধারণ অনুপাত r = (1/4)/(1/2) = 1/2। যেহেতু |r| = |1/2| < ১, তাই এই অনন্ত গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান। অসীমতক সমষ্টি S_∞ = a/(1 - r) = (1/2)/(1 - 1/2) = (1/2)/(1/2) = ১ (অর্থাৎ সম্পূর্ণ কেক)।

3+3/2+3/4+⋯ ধারাটির ক্ষেত্রে— (i) এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা; (ii) এর সমষ্টি একটি সসীম সংখ্যা; (iii) কোনো একটি পদের পর থেকে সব পদ শূন্য হয়। নিচের কোনটি সঠিক?

সঠিক উত্তর: খ) i ও ii। ধারাটির অসীমসংখ্যক পদ আছে এবং সাধারণ অনুপাত অর্ধেক; তাই এটি অসীম গুণোত্তর ধারা। সাধারণ অনুপাতের পরম মান একের চেয়ে ছোট বলে ধারাটির সসীম সমষ্টি আছে। প্রতিটি পদ ধনাত্মক; পদগুলো শূন্যের দিকে এগোলেও কোনো পদ শূন্য হয় না। তাই i ও ii সঠিক।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ৭ · টপিক ২

অসীম ধারা

Q: 3+3/2+3/4+⋯ ধারাটির ক্ষেত্রে— (i) এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা; (ii) এর সমষ্টি একটি সসীম সংখ্যা; (iii) কোনো একটি পদের পর থেকে সব পদ শূন্য হয়। নিচের কোনটি সঠিক?

সঠিক উত্তর: খ) i ও ii। ধারাটির অসীমসংখ্যক পদ আছে এবং সাধারণ অনুপাত অর্ধেক; তাই এটি অসীম গুণোত্তর ধারা। সাধারণ অনুপাতের পরম মান একের চেয়ে ছোট বলে ধারাটির সসীম সমষ্টি আছে। প্রতিটি পদ ধনাত্মক; পদগুলো শূন্যের দিকে এগোলেও কোনো পদ শূন্য হয় না। তাই i ও ii সঠিক।

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

পদসংখ্যার ভিত্তিতে ধারা দুই রকম: সসীম বা সান্ত ধারা এবং অসীম বা অনন্ত ধারা। বাস্তব সংখ্যার একটি অনুক্রম $u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots$ হলে $u_1+u_2+u_3+\ldots+u_n+\ldots$ কে অসীম ধারা বলে; এর $n$ তম পদ $u_n$ ।

অসীম ধারার সব পদ একবারে যোগ করা যায় না। তাই প্রথম কয়েকটি পদ যোগ করে দেখা হয়। প্রথম $n$ টি পদের যোগফলকে $n$ তম আংশিক সমষ্টি বলে:

$S_1=u_1$ , $S_2=u_1+u_2$ , …, $S_n=u_1+u_2+\ldots+u_n$ ।

$n$ যত বড়ো করা হয়, $S_n$ যদি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার যত খুশি কাছে যায়, তবে সেই প্রান্তীয় মানকে ধারাটির সমষ্টি বলা হয়। এমন কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা না পাওয়া গেলে ধারাটির সমষ্টি নেই।

$1+2+3+4+\ldots$ ধারায় $S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ; যেমন $S_{10}=55$ , $S_{1000}=500500$ । $n$ বাড়ালে $S_n$ শুধু বাড়তেই থাকে, তাই সমষ্টি নেই।
$1-1+1-1+\ldots$ ধারায় $n$ বিজোড় হলে $S_n=1$ , জোড় হলে $S_n=0$ । আংশিক সমষ্টি দুটি মানের মধ্যে ওঠানামা করে, কোনো একটি সংখ্যায় স্থির হয় না; তাই এরও সমষ্টি নেই।

উদাহরণ: $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\ldots$ ধারার আংশিক সমষ্টি দেখি। $S_1=0.5$ , $S_2=0.75$ , $S_3=0.875$ , $S_4=0.9375$ । প্রতিবার $1$ পর্যন্ত বাকি অংশের অর্ধেক যোগ হচ্ছে, তাই $S_n$ ক্রমেই $1$ এর কাছে যাচ্ছে কিন্তু কখনো $1$ ছাড়াচ্ছে না। এ ধারার সমষ্টি $1$ ।

একটি রুটিকে প্রথমে অর্ধেক, তারপর বাকিটার অর্ধেক, এভাবে ভাগ করে খেতে থাকলে খাওয়া অংশগুলোর যোগফল ঠিক এই ধারা; মোট খাওয়া কখনো পুরো একটি রুটির বেশি হয় না।

সাধারণ ভুল হলো ভাবা যে অসীম সংখ্যক ধনাত্মক পদ যোগ করলে সমষ্টি সবসময় অসীম হবে। উপরের উদাহরণে অসীম সংখ্যক পদ থাকলেও সমষ্টি $1$ ।

মনে রাখো: অসীম ধারার সমষ্টি মানে আংশিক সমষ্টি $S_n$ এর প্রান্তীয় মান; এমন নির্দিষ্ট মান না থাকলে ধারাটির সমষ্টি নেই।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

অর্ধেক কেক খাওয়ার ধাঁধাচালিয়ে দেখো
আরিফের জন্মদিনের ১টি পুরো কেক আছে। সে প্রথমে কেকটির অর্ধেক (১/২ অংশ) খেল। পরের ধাপে সে বাকি অংশের অর্ধেক (১/৪ অংশ), তারপর আবার বাকি অংশের অর্ধেক (১/৮ অংশ) খেল। এভাবে প্রতি ধাপে অবশিষ্টের অর্ধেক করে সে যদি অনন্তকাল ধরে (অসীম সংখ্যক বার) খেতেই থাকে, তবে মোট কত অংশ খাওয়া হবে? খাওয়ার মোট পরিমাণ কি কখনো পুরো ১টি কেককে ছাড়িয়ে যাবে?

এই টপিকের পার্থক্য

অনুক্রম ও ধারার পার্থক্য (উদাহরণসহ)

অনুশীলনের প্রশ্ন

রাজশাহীতে আরিফের জন্মদিনের অনুষ্ঠানে একটি কেক কেটে পরিবেশন করা হচ্ছে। আরিফ প্রথমে কেকের $\frac{1}{2}$ অংশ খেল। পরবর্তী ধাপে সে অবশিষ্টের অর্ধেক অর্থাৎ $\frac{1}{4}$ অংশ, তার পরের ধাপে আবার অবশিষ্টের অর্ধেক অর্থাৎ $\frac{1}{8}$ অংশ খেল। সে যদি এভাবে চলতে থাকা অসীম গুণোত্তর ধারার (Infinite geometric series) নিয়ম অনুসারে অনন্তকাল ধরে কেক খেতে থাকে, তবে সে সর্বমোট কত অংশ কেক খাবে?
1. ক
  ১ (পুরো কেক)
2. খ
  $\frac{3}{4}$
3. গ
  $\frac{7}{8}$
4. ঘ
  ২
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) ১ (পুরো কেক)
1. কেক খাওয়ার অংশগুলো নিয়ে গঠিত ধারাটি হলো $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ । এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ $a = \frac{1}{2}$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ ।
$a = \frac{1}{2},\quad r = \frac{1}{2}$
1. যেহেতু $|r| = |\frac{1}{2}| < ১$ , তাই এই অনন্ত গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।
$|r| = \frac{1}{2} < 1$
1. অসীমতক সমষ্টি $S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = \frac{1/2}{1/2} = ১$ (অর্থাৎ সম্পূর্ণ কেক)।
$S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$
$3+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\cdots$ ধারাটির ক্ষেত্রে— (i) এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা; (ii) এর সমষ্টি একটি সসীম সংখ্যা; (iii) কোনো একটি পদের পর থেকে সব পদ শূন্য হয়। নিচের কোনটি সঠিক?
1. ক
  i ও iii
2. খ
  i ও ii
3. গ
  ii ও iii
4. ঘ
  i, ii ও iii
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
খ) i ও ii
1. ধারাটির অসীমসংখ্যক পদ আছে এবং সাধারণ অনুপাত অর্ধেক; তাই এটি অসীম গুণোত্তর ধারা।
$r=\frac{1}{2}$
1. সাধারণ অনুপাতের পরম মান একের চেয়ে ছোট বলে ধারাটির সসীম সমষ্টি আছে।
$|r|<1,\quad S=\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=6$
1. প্রতিটি পদ ধনাত্মক; পদগুলো শূন্যের দিকে এগোলেও কোনো পদ শূন্য হয় না। তাই i ও ii সঠিক।
$u_n=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}>0\quad(n=1,2,3,\ldots)$

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো