অসীম গুণোত্তর ধারা

অনুশীলনের প্রশ্ন

1. ১

   রাজশাহীতে আরিফের জন্মদিনের অনুষ্ঠানে একটি কেক কেটে পরিবেশন করা হচ্ছে। আরিফ প্রথমে কেকের $\frac{1}{2}$ অংশ খেল। পরবর্তী ধাপে সে অবশিষ্টের অর্ধেক অর্থাৎ $\frac{1}{4}$ অংশ, তার পরের ধাপে আবার অবশিষ্টের অর্ধেক অর্থাৎ $\frac{1}{8}$ অংশ খেল। সে যদি এভাবে চলতে থাকা অসীম গুণোত্তর ধারার (Infinite geometric series) নিয়ম অনুসারে অনন্তকাল ধরে কেক খেতে থাকে, তবে সে সর্বমোট কত অংশ কেক খাবে?

   1. ক

      ১ (পুরো কেক)

   2. খ

      $\frac{3}{4}$

   3. গ

      $\frac{7}{8}$

   4. ঘ

      ২

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ক) ১ (পুরো কেক)

   1. কেক খাওয়ার অংশগুলো নিয়ে গঠিত ধারাটি হলো $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$। এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ $a = \frac{1}{2}$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$।

   $$a = \frac{1}{2},\quad r = \frac{1}{2}$$

   2. যেহেতু $|r| = |\frac{1}{2}| < ১$, তাই এই অনন্ত গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

   $$|r| = \frac{1}{2} < 1$$

   3. অসীমতক সমষ্টি $S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = \frac{1/2}{1/2} = ১$ (অর্থাৎ সম্পূর্ণ কেক)।

   $$S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$$
2. ২

   বগুড়ার একটি বিজ্ঞান ক্লাবের মডেলিং প্রজেক্টে পানির প্রবাহ হ্রাসের একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা পাওয়া গেল: $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$। ধারাটির অসীমতক সমষ্টি (Sum to infinity) কত?

   1. ক

      $\frac{3}{4}$

   2. খ

      $\frac{3}{2}$

   3. গ

      $\frac{4}{3}$

   4. ঘ

      $\frac{2}{3}$

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ক) $\frac{3}{4}$

   1. প্রদত্ত ধারাটির ১ম পদ $a = ১$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{-1/3}{1} = -\frac{1}{3}$।

   $$a = 1,\quad r = -\frac{1}{3}$$

   2. যেহেতু $|r| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < ১$, তাই ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

   $$|r| = \frac{1}{3} < 1$$

   3. অসীমতক সমষ্টি $S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$।

   $$S_\infty = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$$
3. ৩

   সিলেটের একটি সফটওয়্যার ল্যাবে ডেটা সংকোচন অ্যালগরিদমে ধারাটি ব্যবহৃত হয়: $\frac{1}{2x + 1} + \frac{1}{(2x + 1)^2} + \frac{1}{(2x + 1)^3} + \dots$। $x$-এর ওপর কী শর্ত আরোপ করলে এই অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে?

   1. ক

      $x > 0$ অথবা $x < -1$

   2. খ

      $-1 < x < 0$

   3. গ

      $x > 0$

   4. ঘ

      $x < -1$

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ক) $x > 0$ অথবা $x < -1$

   1. ধারাটির ১ম পদ $a = \frac{1}{2x + 1}$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{1/(2x + 1)^2}{1/(2x + 1)} = \frac{1}{2x + 1}$।

   $$r = \frac{1}{2x + 1}$$

   2. অনন্ত গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত হলো $|r| < ১$, অর্থাৎ $|\frac{1}{2x + 1}| < ১ \implies |2x + 1| > ১$।

   $$|2x + 1| > 1$$

   3. $|2x + 1| > ১$ হলে হয় $2x + 1 > ১ \implies 2x > 0 \implies x > 0$, অথবা $2x + 1 < -১ \implies 2x < -2 \implies x < -1$। অতএব নির্ণেয় শর্ত: $x > 0$ অথবা $x < -1$।

   $$x > 0 \quad \text{or} \quad x < -1$$