আবৃত্ত দশমিক সংখ্যাকে অনন্ত গুণোত্তর ধারায় প্রকাশ এবং সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর

যে দশমিক সংখ্যায় দশমিক বিন্দুর পরে এক বা একাধিক অঙ্ক একই ক্রমে বারবার আসে, তাকে পৌনঃপুনিক দশমিক বা আবৃত্ত দশমিক বলে। যে অংশটি বারবার আসে তার প্রথম ও শেষ অঙ্কের ওপর বিন্দু দিয়ে লেখা হয়, যেমন $0.555\ldots=0.\dot{5}$ এবং $0.121212\ldots=0.\dot{1}\dot{2}$।

পৌনঃপুনিক অংশকে অসীম গুণোত্তর ধারা হিসেবে লেখা যায়। কারণ পরের প্রতিটি পুনরাবৃত্তি আগেরটির চেয়ে নির্দিষ্ট ঘর ডানে সরে যায়, অর্থাৎ একটি নির্দিষ্ট অনুপাতে ছোট হয়। একটি অঙ্ক পুনরাবৃত্ত হলে $r=0.1$, দুটি অঙ্ক হলে $r=0.01$, তিনটি হলে $r=0.001$। যেহেতু $|r|<1$, সমষ্টি আছে এবং $S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$ দিয়ে সংখ্যাটিকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যায়।

উদাহরণ ১: $0.\dot{3}\dot{6}=0.36+0.0036+0.000036+\ldots$। এখানে $a=0.36$, $r=0.01$। তাই $0.\dot{3}\dot{6}=\dfrac{0.36}{0.99}=\dfrac{36}{99}=\dfrac{4}{11}$।

উদাহরণ ২ (অপৌনঃপুনিক অংশসহ): $0.1\dot{6}=0.1666\ldots$। এখানে $0.1$ অংশটি পুনরাবৃত্ত নয়, তাই আলাদা রাখি: $0.1\dot{6}=0.1+(0.06+0.006+\ldots)$। বন্ধনীর ধারায় $a=0.06$, $r=0.1$, সমষ্টি $\dfrac{0.06}{0.9}=\dfrac{1}{15}$। তাই $0.1\dot{6}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{3+2}{30}=\dfrac{1}{6}$।

উদাহরণ ৩ (পূর্ণ অংশসহ): $2.\dot{1}\dot{5}=2+\dfrac{0.15}{0.99}=2+\dfrac{15}{99}=2+\dfrac{5}{33}=\dfrac{71}{33}$।

যাচাই করতে উত্তরের লবকে হর দিয়ে ভাগ করো: $71\div33=2.1515\ldots$, যা প্রদত্ত সংখ্যার সঙ্গে মেলে। এ থেকে বোঝা যায়, প্রতিটি পৌনঃপুনিক দশমিক একটি মূলদ সংখ্যা। এখানে সব সংখ্যা বিশুদ্ধ সংখ্যা, তাই কোনো একক নেই।

সাধারণ ভুল হলো দুই অঙ্ক পুনরাবৃত্ত হলেও $r=0.1$ ধরা, কিংবা অপৌনঃপুনিক অংশকেও গুণোত্তর ধারার প্রথম পদের মধ্যে ঢুকিয়ে ফেলা। যত অঙ্ক পুনরাবৃত্ত হয়, $r$ এ দশমিকের পর ঠিক তত ঘর থাকে।

মনে রাখো: পৌনঃপুনিক অংশকে অসীম গুণোত্তর ধারা হিসেবে লিখে $\dfrac{a}{1-r}$ নিলেই সাধারণ ভগ্নাংশ পাওয়া যায়; অপৌনঃপুনিক অংশ আলাদা করে যোগ করো।