আবৃত্ত দশমিক ও অসীম ধারা

যেকোনো বিশুদ্ধ আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা মূলত একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা। যেমন ০.৯৯৯... = ০.৯ + ০.০৯ + ০.০০৯ + ... যার ১ম পদ a = ০.৯ এবং সাধারণ অনুপাত r = ০.১। যেহেতু |r| < ১, তাই অসীমতক সমষ্টির সূত্র অনুযায়ী S∞ = a / (১ − r) = ০.৯ / (১ − ০.১) = ০.৯ / ০.৯ = ১। অর্থাৎ অনন্ত পদ পর্যন্ত যোগফল নিখুঁতভাবে ১ এর সমান। একইভাবে ০.৩৩৩৩... এর জন্য S∞ = ০.৩ / (১ − ০.১) = ৩/৯ = ১/৩। অসীম গুণোত্তর ধারার এই সূত্র ব্যবহার করে যেকোনো আবৃত্ত দশমিককে সহজে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যায়।

সসীম সংখ্যক পদ নিলে সমষ্টি ১ এর চেয়ে সামান্য ছোট থাকে (যেমন ৪টি পদে ০.৯৯৯৯, পার্থক্য ০.০০০১)। কিন্তু আবৃত্ত দশমিক কোনো সসীম সংখ্যা নয়: এটি অনন্ত পদ পর্যন্ত বিস্তৃত। ধারার অসীমতক সমষ্টি বা গাণিতিক সীমা কোনো আসন্ন মান নয়, বরং নিখুঁত ১। আবার প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদের ১০ ভাগের ১ ভাগ হওয়ায় অসীম সংখ্যক পদ যোগ করলেও সমষ্টি অসীম হয় না, ১ এ স্থির হয়।