টেনিস বলের বাউন্স ও অনুক্রমের সীমা
মান বদলাও, চালাও, আর দেখো কী ঘটে।
স্কুলের ১০ m উঁচু ছাদ থেকে একটি টেনিস বল নিচে ফেলে দেওয়া হলো। প্রতিবার ড্রপ খেয়ে এটি আগের উচ্চতার ৬০% (০.৬ অংশ) পর্যন্ত ওপরে ওঠে: ১০, ৬, ৩.৬, ... বলটির বাউন্সের উচ্চতা কি কখনো ঠিক ০ m হবে?
বলটির বাউন্সের উচ্চতা কি কখনো ঠিক ০ m হবে?
- উচ্চতা ক্রমশ ০ এর যত খুশি কাছাকাছি যাবে কিন্তু কখনোই ঠিক ০ হবে না।
- প্রায় ১০টি বাউন্সের পর উচ্চতা ঠিক ০ m হয়ে যাবে।
- উচ্চতা ৬ m এ অপরিবর্তিত থাকবে।
যা বদলাতে পারবে
- উচ্চতার অনুপাত (r): −১ থেকে ১.৫
- বাউন্স বা পদ সংখ্যা (n): ১ থেকে ৩০
যা মেপে দেখাবে
- n-তম বাউন্সের উচ্চতা (tₙ) (m)
- উচ্চতাগুলোর সমষ্টি (Sₙ) (m)
- সীমার দিকে ধাবিত হয়?
চালানোর সময় খেয়াল করো
- পদ সংখ্যা (n) বাড়িয়ে ১০ বা ১৫ তে নাও। বাউন্সের উচ্চতা (tₙ) কি ০ এর খুব কাছে যাচ্ছে, নাকি ঠিক ০ হচ্ছে?
নিজে করে দেখো
- উচ্চতার অনুপাত r = ০.৬ রেখে বাউন্সের উচ্চতা ১০ cm (০.১ m) এর নিচে নামে এমন প্রথম পদটি (n) খুঁজে বের করো।
ইঙ্গিত
১০-তম বাউন্সে উচ্চতা ১০ × (০.৬)⁹ ≈ ০.১০০৮ m, যা ১০ cm এর সামান্য বেশি। এর ঠিক পরের পদটি দেখো।
- চিহ্ন পর্যায়ক্রমে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পরিবর্তিত হয় কিন্তু পদগুলো শূন্যের দিকেই সংকুচিত হয় এমন একটি অনুক্রম তৈরি করো।
ইঙ্গিত
সাধারণ অনুপাত r ঋণাত্মক করো, তবে এর পরমমান যেন ১ এর চেয়ে ছোট থাকে (-১ < r < ০)।
ধারণাটা কী?আগে নিজে চালিয়ে দেখো, তারপর খোলো।
গুণোত্তর অনুক্রমের সাধারণ পদ ও সীমা
কোনো গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে এর n-তম পদ tₙ = arⁿ⁻¹। যখন |r| < 1, তখন n যত বাড়ে, পদগুলো ক্রমশ শূন্যের দিকে ধাবিত হয় (tₙ → ০), কিন্তু কোনো সসীম ধাপে কখনোই ঠিক ০ হয় না। একে অনুক্রমের সীমা বলে। আবার r > 1 হলে পদগুলো ক্রমে বৃদ্ধি পায় এবং r < 0 হলে পদগুলোর চিহ্ন পর্যায়ক্রমে ধনাত্মক ও ঋণাত্মকে পরিবর্তিত হয়।
অন্য উত্তরগুলো কেন ভুল
১০টি বাউন্সের পর উচ্চতা প্রায় ০.০৬০৫ m বা ৬ cm হয়, যা খালি চোখে খুব ছোট মনে হলেও ঠিক ০ নয়। কোনো সংখ্যাকে বারবার ০.৬ দিয়ে গুণ করলে গুণফল কখনো শূন্য হতে পারে না, কেবল শূন্যের খুব কাছাকাছি পৌঁছায়। আর প্রতি বাউন্সে উচ্চতা আগেরটির ৬০% এ নেমে আসায় উচ্চতা কখনো ৬ m এ স্থির থাকে না।
যেসব ভুল ধারণা হয়
- পরপর কমতে থাকা জ্যামিতিক অনুক্রমের পদ সসীম সংখ্যক ধাপে শূন্যে পৌঁছে যায়।
- প্রথম বাউন্সের পর অনুক্রমের পরবর্তী পদগুলো আর পরিবর্তিত হয় না।
বাস্তবে কোথায় দেখা যায়
- ক্রিকেট বা টেনিস বল তৈরির কারখানায় বলের গুণগত মান ও ড্রপ টেস্ট (বাউন্স সহগ) যাচাই করা।
- বাংলাদেশ বেতারের ট্রান্সমিটার থেকে দূরত্ব বাড়ার সাথে সাথে সংকেতের তীব্রতা বা বিস্তার ক্রমান্বয়ে হ্রাস পাওয়ার হিসাব।