অনুক্রম

কতকগুলো রাশি যখন একটি বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার আগের ও পরের রাশির সঙ্গে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায়, তখন সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম বলে। যেমন স্বাভাবিক সংখ্যা $1, 2, 3, 4, \ldots$ এর প্রত্যেকটিকে তার বর্গের সঙ্গে মেলালে পাই $1, 4, 9, 16, \ldots$; এটি একটি অনুক্রম। সম্পর্কটি একটি ফাংশন, $f(n)=n^{2}$।

অনুক্রমের প্রথম রাশিকে প্রথম পদ, দ্বিতীয়টিকে দ্বিতীয় পদ বলা হয়। $n$ তম পদকে সাধারণ পদ বলে, যেমন উপরের অনুক্রমের সাধারণ পদ $n^{2}$। সাধারণ পদ দিয়ে অনুক্রমকে সংক্ষেপে লেখা হয় $\{n^{2}\}$ বা $\{n^{2}\}_{n=1}^{+\infty}$। এ অধ্যায়ে অনুক্রমের পদসংখ্যা অসীম ধরা হয়।

অনুক্রম ও ধারা এক নয়। অনুক্রমের পদগুলো পরপর যোগ চিহ্ন দিয়ে যুক্ত করলে ধারা পাওয়া যায়। $1, 4, 9, 16, \ldots$ অনুক্রম, আর $1+4+9+16+\ldots$ ধারা।

উদাহরণ ১: সাধারণ পদ $u_n=2n+1$ হলে $n=1, 2, 3, 4$ বসিয়ে অনুক্রমটি $3, 5, 7, 9, \ldots$। এর দশম পদ $u_{10}=2\times10+1=21$।

উদাহরণ ২: $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5}, \ldots$ অনুক্রমের সাধারণ পদ খুঁজি। লব পদের ক্রমিক নম্বর $n$, আর হর তার চেয়ে $1$ বেশি। তাই সাধারণ পদ $\dfrac{n}{n+1}$। যাচাই: $n=3$ হলে $\dfrac{3}{4}$, যা তৃতীয় পদের সঙ্গে মেলে।

একটি দৈনন্দিন উদাহরণ: কেউ প্রথম দিন $10$ টাকা, দ্বিতীয় দিন $20$ টাকা, তৃতীয় দিন $30$ টাকা জমালে প্রতিদিনের জমার অনুক্রম $10, 20, 30, \ldots$ এবং সাধারণ পদ $10n$ টাকা। এখানে $n$ দিনের ক্রমিক সংখ্যা, এর কোনো একক নেই।

সাধারণ ভুল হলো সাধারণ পদ পাওয়ার পর মাত্র একটি পদ দিয়ে যাচাই করা, অথবা $n$ শূন্য থেকে শুরু করা। এখানে $n$ স্বাভাবিক সংখ্যা, তাই $n=1$ থেকে শুরু হয় এবং অন্তত দু-তিনটি পদ মিলিয়ে দেখা উচিত।

মনে রাখো: অনুক্রম হলো নিয়ম মেনে সাজানো রাশির সেট; সাধারণ পদ জানলে যেকোনো পদ বের করা যায়, আর পদগুলো যোগ চিহ্নে যুক্ত করলে হয় ধারা।