ত্রিভুজ সংক্রান্ত

অনুশীলনের প্রশ্ন

1. ১

   কুমিল্লার একটি বিদ্যালয়ের গণিত ক্লাবে শিক্ষার্থীরা ত্রিভুজের ভূমি (base) $a$, শিরঃকোণ (vertical angle) $\angle A$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি (sum of other two sides) $s$ ব্যবহার করে একটি ত্রিভুজাকার মডেল অঙ্কন করছে। অঙ্কনের প্রচলিত নিয়মানুসারে $s$-এর সমান রেখাংশের অপর প্রান্তে সহায়ক শীর্ষবিন্দু $D$-তে কত মানের কোণ অঙ্কন করতে হবে?

   1. ক

      $\frac{1}{2}\angle A$

   2. খ

      $\angle A$

   3. গ

      $90^\circ - \frac{1}{2}\angle A$

   4. ঘ

      $2\angle A$

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ক) $\frac{1}{2}\angle A$

   1. রেখাংশ $BD = s$ নিয়ে $BA$-কে $D$ পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত বিবেচনা করা হয় যেন $AD = AC$। ফলে $\triangle ACD$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (isosceles triangle) হয়।

   $$BD = BA + AD = b + c = s$$

   2. $\triangle ACD$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle BAC = \angle A = \angle ADC + \angle ACD$। যেহেতু $AD = AC$, তাই $\angle ADC = \angle ACD$।

   $$\angle A = 2\angle ADC \implies \angle ADC = \frac{1}{2}\angle A$$

   3. অতএব, $\angle BDC = \frac{1}{2}\angle A$। সুতরাং সহায়ক শীর্ষ $D$-তে $\frac{1}{2}\angle A$-এর সমান কোণ অঙ্কন করতে হয়।
2. ২

   একটি ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে ভূমির উপর উচ্চতা (altitude) $h$, ভূমির উপর মধ্যমা (median) $m$ এবং ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle B$ দেওয়া আছে। জ্যামিতিক অঙ্কনটি সম্পন্ন করা সম্ভব হওয়ার জন্য $h$ ও $m$-এর মধ্যে কোন আবশ্যকীয় শর্তটি পূরণ হতে হবে?

   1. ক

      $m \ge h$

   2. খ

      $m < h$

   3. গ

      $m \le \frac{1}{2}h$

   4. ঘ

      $m = h \cos \angle B$

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ক) $m \ge h$

   1. শীর্ষবিন্দু $A$ থেকে ভূমি $BC$-এর উপর লম্ব $AE = h$ এবং ভূমির মধ্যবিন্দু $D$ হলে মধ্যমা $AD = m$।
   2. $\triangle AED$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ (hypotenuse) হলো মধ্যমা $AD = m$ এবং একটি লম্ব বাহু হলো উচ্চতা $AE = h$।

   $$m^2 = h^2 + ED^2 \implies m \ge h$$

   3. সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ সর্বদা অপর বাহুগুলোর চেয়ে বৃহত্তর বা সমান ($m \ge h$)। যদি $m < h$ হয়, তবে শীর্ষ $A$ থেকে $m$ ব্যাসার্ধের বৃত্তচাপ ভূমির সমান্তরাল রেখাকে ছেদ করতে পারে না এবং অঙ্কন অসম্ভব হয়।
3. ৩

   খুলনার একটি কারিগরি বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরা গণিত ব্যবহারিক ক্লাসে ত্রিভুজের ভূমি (base) $BC = ১২\text{ cm}$, ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle B = ৩০^\circ$ এবং শীর্ষ $A$ থেকে ভূমির উপর উচ্চতা (altitude) $h = ৪\text{ cm}$ ব্যবহার করে একটি ত্রিভুজ $\triangle ABC$ অঙ্কন করল। অঙ্কিত ত্রিভুজটির $AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য কত cm?

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ৮ cm

   1. শীর্ষবিন্দু $A$ থেকে ভূমি $BC$-এর উপর অঙ্কিত লম্ব $AE = h = ৪\text{ cm}$, যা ত্রিভুজটির উচ্চতা।

   $$AE = h = 4\text{ cm}$$

   2. $\triangle ABE$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle AEB = ৯০^\circ$ এবং $\angle B = ৩০^\circ$। ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অনুসারে $\sin B = \frac{AE}{AB}$।

   $$\sin 30^\circ = \frac{AE}{AB} = \frac{4}{AB}$$

   3. $\sin ৩০^\circ = \frac{১}{২}$ বসিয়ে পাই: $\frac{১}{২} = \frac{৪}{AB} \implies AB = ৪ \times ২ = ৮\text{ cm}$।

   $$AB = \frac{4}{\sin 30^\circ} = 8\text{ cm}$$