জ্যামিতিক অঙ্কন

বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $d$ হলে বৃত্তের কেন্দ্র থেকে উভয় বিন্দুর দূরত্ব $r$ হতে হবে। বৃত্তটি গঠিত হতে হলে কেন্দ্রকে শীর্ষ ধরে গঠিত ত্রিভুজের বাহুর শর্তানুসারে $r + r \ge d \implies 2r \ge d$ বা $r \ge \frac{d}{2}$ হতে হবে। যদি $r < \frac{d}{2}$ হয় তবে কোনো বৃত্ত আঁকা সম্ভব নয়; $r = \frac{d}{2}$ হলে ঠিক একটি বৃত্ত ($AB$ ব্যাস ধরে) এবং $r > \frac{d}{2}$ হলে ঠিক দুটি ভিন্ন বৃত্ত আঁকা সম্ভব।

অঙ্কন প্রণালী: ১. যেকোনো রশ্মি $BE$ থেকে ভূমি $BC = ৫\text{ cm}$-এর সমান করে $BC$ অংশ কেটে নিই। ২. $B$ বিন্দুতে $\angle EBF = \angle B = ৪৫^\circ$ আঁকি। ৩. $BF$ রশ্মি থেকে অপর দুই বাহুর অন্তর $d = ২\text{ cm}$-এর সমান করে $BD$ কেটে নিই এবং $C, D$ যোগ করি। ৪. $CD$ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকি, যা $BF$ রশ্মিকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। ৫. $A, C$ যোগ করি। তাহলে $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজাকার বিশ্রামাগার, কারণ $A$ বিন্দু $CD$-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত হওয়ায় $AD = AC$, ফলে $AB - AC = AB - AD = BD = ২\text{ cm}$।

অঙ্কন প্রণালী ও জ্যামিতিক প্রমাণ: ১. সোজা পদচারী পথ $PQ$-এর স্পর্শবিন্দু $T$-তে লম্ব $TM$ আঁকি। বৃত্তের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব হওয়ায় বৃত্তের কেন্দ্র $O$ অবশ্যই $TM$ রেখার উপর থাকবে। ২. স্পর্শবিন্দু $T$ ও আলোকস্তম্ভ $K$ যোগ করে $TK$ রেখাংশ গঠন করি, যা উদ্দিষ্ট বৃত্তটির একটি জ্যা (chord)। ৩. $TK$ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক $XY$ অঙ্কন করি, যা স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব $TM$-কে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। এই $O$ বিন্দুই বৃত্তটির কেন্দ্র। ৪. $O$-কে কেন্দ্র করে $OT$ (বা $OK$)-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তটি অঙ্কন করি। প্রমাণ: কেন্দ্র $O$ বিন্দুটি $TK$-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক $XY$-এর উপর অবস্থিত হওয়ায় $OT = OK = \text{ব্যাসার্ধ}$। আবার $OT \perp PQ$ হওয়ায় $PQ$ সরলরেখাটি $T$ বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক হয়। অতএব, অঙ্কিত বৃত্তটি $PQ$-কে $T$ বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং বহিঃস্থ বিন্দু $K$ দিয়ে যায়।