বৃত্ত সংক্রান্ত

অনুশীলনের প্রশ্ন

1. ১

   রাজশাহীর পদ্মা নদীর তীরে একটি পরিবেশ পর্যবেক্ষণ কেন্দ্র স্থাপনের নকশায় দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু $A$ ও $B$-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব ৮ cm। বিন্দু দুটির উভয়টি দিয়ে অতিক্রম করে এমন ৫ cm ব্যাসার্ধবিশিষ্ট (radius) কয়টি ভিন্ন বৃত্ত অঙ্কন করা সম্ভব?

   1. ক

      ২টি

   2. খ

      ১টি

   3. গ

      অসীম সংখ্যক

   4. ঘ

      একটিও নয়

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ক) ২টি

   1. $A$ ও $B$ বিন্দুগামী বৃত্তের কেন্দ্র $O$ সর্বদা $AB$-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের (perpendicular bisector) উপর অবস্থিত হবে, যেখানে $OA = OB = r = ৫\text{ cm}$।
   2. $AB$-এর মধ্যবিন্দু $M$ হলে $AM = ৮ / ২ = ৪\text{ cm}$। সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OMA$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে কেন্দ্রের দূরত্ব $OM = \sqrt{r^2 - AM^2} = \sqrt{৫^2 - ৪^2} = \sqrt{৯} = ৩\text{ cm}$।

   $$OM = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\text{ cm}$$

   3. যেহেতু $r = ৫\text{ cm} > ৪\text{ cm}$ ($r > AB / ২$), তাই $AB$-এর উভয় পাশে $M$ থেকে ৩ cm দূরে দুটি ভিন্ন কেন্দ্র $O_1$ ও $O_2$ পাওয়া যায়। ফলে ঠিক ২টি ভিন্ন বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
2. ২

   বগুড়ার একটি গ্রামীণ মেলায় একটি বৃত্তাকার নাগরদোলার নকশা প্রণয়ন করা হচ্ছে। নকশায় একটি সোজা সীমানা রেখাকে নাগরদোলার পরিধি $P$ বিন্দুতে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দু $P$ থেকে সীমানা বরাবর ৪ m দূরে এবং সীমানা থেকে লম্বালম্বি ২ m ভেতরের দিকে একটি বিদ্যুৎ খুঁটি $Q$ অবস্থিত। নাগরদোলাটির পরিধি $P$ বিন্দুতে সীমানাকে স্পর্শ করে এবং $Q$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে এর ব্যাসার্ধ (radius) কত মিটার হতে হবে?

   1. ক

      ৫ m

   2. খ

      ১০ m

   3. গ

      ২.৫ m

   4. ঘ

      ৪ m

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ক) ৫ m

   1. ধরি, সোজা সীমানা রেখাটি $x$-অক্ষ এবং স্পর্শবিন্দুটি মূলবিন্দু $P(০, ০)$। স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব $y$-অক্ষ বরাবর হওয়ায় বৃত্তের কেন্দ্র $O(০, R)$।

   $$P = (0, 0),\quad O = (0, R)$$

   2. শর্তানুসারে বিদ্যুৎ খুঁটি $Q$-এর স্থানাঙ্ক $(৪, ২)$। বৃত্তের ব্যাসার্ধ $R = OQ$, সুতরাং $OQ^2 = R^2$।

   $$(4 - 0)^2 + (2 - R)^2 = R^2$$

   3. সমীকরণটি সমাধান করে পাই: ১৬ + ৪ − ৪R + R² = R² ⇒ ২০ − ৪R = ০ ⇒ ৪R = ২০ ⇒ R = ৫ m।

   $$20 - 4R = 0 \implies R = 5\text{ m}$$
3. ৩

   চাঁদপুরের মেঘনা নদীর পাড়ে একটি কৃষি খামারে দুটি সেচ পয়েন্ট $A$ ও $B$-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব ১২ m। $AB$ রেখাংশের সমান্তরালে ৮ m লম্ব দূরত্বে একটি সোজা সেচ নালা (irrigation canal) অবস্থিত। এমন একটি বৃত্তাকার সেচ অঞ্চল নির্ধারণ করা হলো যার পরিধি $A$ ও $B$ উভয় পয়েন্ট দিয়ে অতিক্রম করে এবং যার কেন্দ্র ওই সেচ নালার উপর অবস্থিত। এই বৃত্তাকার সেচ অঞ্চলটির ব্যাসার্ধ (radius) কত মিটার?

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ১০ m

   1. $A$ ও $B$ বিন্দুগামী যেকোনো বৃত্তের কেন্দ্র $O$ অবশ্যই $AB$-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের (perpendicular bisector) উপর অবস্থিত।
   2. $AB$-এর মধ্যবিন্দু $M$ হলে $AM = MB = ১২ / ২ = ৬\text{ m}$। যেহেতু সেচ নালাটি $AB$-এর সমান্তরাল এবং ৮ m দূরে অবস্থিত, তাই লম্ব সমদ্বিখণ্ডক ও নালার ছেদবিন্দু $O$-এর দূরত্ব $OM = ৮\text{ m}$।

   $$AM = 6\text{ m},\quad OM = 8\text{ m}$$

   3. সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OMA$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে ব্যাসার্ধ $R = OA = \sqrt{OM^2 + AM^2} = \sqrt{৮^2 + ৬^2} = \sqrt{৬৪ + ৩৬} = \sqrt{১০০} = ১০\text{ m}$।

   $$R = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ m}$$