অভেদ চিহ্ন কোনটি?

≡; যেমন P(x) ≡ Q(x) মানে সব x-এর জন্য P(x) ও Q(x) সমান।

x² - 4 = (x + 2)(x - 2) সমীকরণ না অভেদ?

অভেদ, কারণ ডানপক্ষ গুণ করলে হুবহু x² - 4 হয়; যেকোনো x-এর জন্য সত্য।

উচ্চতর গণিত · বীজগাণিতিক রাশি

সমীকরণ ও অভেদের পার্থক্য (উদাহরণসহ)

সর্বশেষ হালনাগাদ ২২ অক্টোবর ২০২৬

সংক্ষেপে

সমীকরণ চলকের কেবল কিছু নির্দিষ্ট মানের জন্য সত্য হয়; সেই মানগুলোই এর মূল বা সমাধান, যেমন $x^2 - 5x + 6 = 0$ সত্য কেবল $x = 2$ ও $x = 3$ -এর জন্য। অভেদ চলকের ডোমেনভুক্ত সব মানের জন্য সত্য, যেমন $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ ; একে $\equiv$ চিহ্ন দিয়েও লেখা হয়। অভেদের দুই পক্ষে চলকের একই ঘাতের সহগ সমান হয়।

সমীকরণ ও অভেদ: পার্থক্যের ছক
তুলনার বিষয়	সমীকরণ	অভেদ
কখন সত্য	চলকের কেবল কিছু নির্দিষ্ট মানের জন্য	চলকের ডোমেনভুক্ত সব মানের জন্য
চিহ্ন	$=$	$\equiv$ (অভেদ চিহ্ন), অনেক সময় $=$
সমাধান	মূল বা সমাধান বের করতে হয়	আলাদা করে সমাধানের কিছু নেই; সব মানই খাটে
দুই পক্ষ সরল করলে	সাধারণত দুই পক্ষ একই রাশি হয় না	দুই পক্ষ হুবহু একই রাশি হয়
সহগ	দুই পক্ষের সহগ সমীকৃত করা যায় না	দুই পক্ষে একই ঘাতের সহগ সমান; আংশিক ভগ্নাংশে কাজে লাগে
উদাহরণ	$2x + 3 = 7$ ; $x^2 - 5x + 6 = 0$	$x(x + 2) = x^2 + 2x$ ; $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

সমীকরণ

সমান চিহ্নযুক্ত যে উক্তি চলকের কেবল কিছু নির্দিষ্ট মানের জন্য সত্য, তা সমীকরণ। $2x + 3 = 7$ সত্য কেবল $x = 2$ -এর জন্য; $x = 5$ বসালে বামপক্ষ $13$ , ডানপক্ষ $7$ । যে মান(গুলো) বসালে সমীকরণ সত্য হয়, সেগুলোই এর মূল, আর মূল বের করাই সমীকরণ সমাধান।

অভেদ

একই চলকের দুটি বীজগাণিতিক রাশির সমতাকে অভেদ বলে, যদি চলকের ডোমেনভুক্ত প্রত্যেক মানের জন্য রাশি দুটির মান সমান হয়। দুটি বহুপদী $P(x)$ ও $Q(x)$ সব $x$ -এর জন্য সমান হলে লেখা হয় $P(x) \equiv Q(x)$ । $x(x + 2) = x^2 + 2x$ -এ যেকোনো $x$ বসাও, দুই পক্ষ সমান হবে।

অভেদ কোথায় কাজে লাগে

আংশিক ভগ্নাংশে দুই পক্ষকে হর দিয়ে গুণ করলে একটি অভেদ পাওয়া যায়। যেমন

\frac{5x + 1}{(x + 1)(x - 1)} \equiv \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}

থেকে পাই $5x + 1 \equiv A(x - 1) + B(x + 1)$ । এটি সব $x$ -এর জন্য সত্য বলে সুবিধামতো মান বসানো যায়: $x = 1$ বসিয়ে $6 = 2B$ , তাই $B = 3$ ; $x = -1$ বসিয়ে $-4 = -2A$ , তাই $A = 2$ । সমীকরণে এভাবে ইচ্ছেমতো মান বসানো যায় না।

সাধারণ ভুল

অভেদকে "সমাধান" করতে বসা। সরল করলে $0 = 0$ পেলে বুঝবে এটি অভেদ, সমাধানের কিছু নেই।
দুটি মান বসিয়ে মিলে গেলেই অভেদ ধরে নেওয়া। অভেদ প্রমাণে সরল করে দুই পক্ষ হুবহু এক দেখাতে হয়।

পরীক্ষায় যেভাবে লিখবে

সমীকরণ ও অভেদের পার্থক্য সাধারণত জ্ঞানমূলক প্রশ্ন বা MCQ হিসেবে আসে। লিখতে পারো:

সমীকরণ	অভেদ
১. চলকের নির্দিষ্ট মানের জন্য সত্য।	১. চলকের সব মানের জন্য সত্য।
২. মূল বা সমাধান থাকে।	২. আলাদা সমাধান নেই।

আংশিক ভগ্নাংশের প্রশ্নে প্রথম লাইনেই লেখো "উভয়পক্ষকে হর দ্বারা গুণ করে পাই" এবং $\equiv$ চিহ্ন দাও; এতে বোঝানো যায় কেন পরে $x$ -এর সুবিধামতো মান বসাচ্ছ।

নিজে চালিয়ে দেখো

অনুশীলনের প্রশ্ন

দিনাজপুরের এক কৃষক সুগন্ধি কাটারিভোগ ধানের ফলন মডেল করতে গিয়ে একটি বহুপদী (polynomial) রাশি P(x) = 8 − 5x² + 12x⁴ − 3x³ গঠন করলেন, যেখানে x হলো সার প্রয়োগের মাত্রা। বহুপদীটির মাত্রা (degree) ও মুখ্য সহগ (leading coefficient) যথাক্রমে কত?
1. ক
  ৪ এবং ১২
2. খ
  ৪ এবং ৮
3. গ
  ৩ এবং −৩
4. ঘ
  ৪ এবং −৫
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) ৪ এবং ১২
1. বহুপদীটিকে চলক x-এর ঘাতের অধঃক্রম (descending order) অনুসারে সাজিয়ে পাই: P(x) = 12x⁴ − 3x³ − 5x² + 8।
$P(x) = 12x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 8$
1. চলক x-এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো ৪, তাই বহুপদীটির মাত্রা (degree) ৪।
2. সর্বোচ্চ ঘাত সংবলিত পদটি হলো 12x⁴ (মুখ্যপদ), সুতরাং এর সহগ ১২ হলো মুখ্য সহগ (leading coefficient)।
রাজশাহীর একটি আম প্রক্রিয়াকরণ কারখানায় জুসের প্যাকেটের আয়তন বহুপদী P(x) = x³ − 4x² + kx − 6 ঘন সেন্টিমিটার (cm³)। প্যাকেটটির একটি প্রান্তের দৈর্ঘ্য (x − ৩) cm হলে এবং (x − ৩) রাশিটি P(x)-এর একটি উৎপাদক (factor) হলে, ধ্রুবক k-এর মান কত?
1. ক
  ৫
2. খ
  −৫
3. গ
  −২৩
4. ঘ
  ৩
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) ৫
1. উৎপাদক উপপাদ্য (factor theorem) অনুসারে, যদি (x − ৩) রাশিটি P(x)-এর একটি উৎপাদক হয়, তবে P(৩) = ০ হবে।
$P(3) = 0$
1. বহুপদীতে x = ৩ বসিয়ে পাই: P(৩) = ৩³ − ৪(৩²) + k(৩) − ৬ = ২৭ − ৩৬ + ৩k − ৬ = ৩k − ১৫।
$P(3) = 3^3 - 4(3^2) + 3k - 6 = 3k - 15$
1. যেহেতু P(৩) = ০, তাই ৩k − ১৫ = ০ ⇒ ৩k = ১৫ ⇒ k = ৫।
$3k - 15 = 0 \implies k = 5$
$P(x)=2x^3-3x^2-8x+12$ বহুপদীকে $x-2$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কোনটি?
1. ক
  $2x^2-7x+6$
2. খ
  $2x^2+x+6$
3. গ
  $2x^2-x-6$
4. ঘ
  $2x^2+x-6$
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ঘ) $2x^2+x-6$
1. বহুপদীটিকে উৎপাদকের গুণফল আকারে লিখি।
$2x^3-3x^2-8x+12=(x-2)(2x^2+x-6)$
1. অতএব ভাগফল $2x^2+x-6$ এবং ভাগশেষ শূন্য।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

অভেদ চিহ্ন কোনটি?: $\equiv$ ; যেমন $P(x) \equiv Q(x)$ মানে সব $x$ -এর জন্য $P(x)$ ও $Q(x)$ সমান।
$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ সমীকরণ না অভেদ?: অভেদ, কারণ ডানপক্ষ গুণ করলে হুবহু $x^2 - 4$ হয়; যেকোনো $x$ -এর জন্য সত্য।

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো