offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ২ · টপিক ৩

মূলদ ভগ্নাংশকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ (সরল মূলদ ভগ্নাংশ)

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

একটি বহুপদীকে লব এবং আরেকটি বহুপদীকে হর ধরে গঠিত ভগ্নাংশকে মূলদ ভগ্নাংশ বলে। যেমন x+7(x+1)(x−2)\dfrac{x+7}{(x+1)(x-2)}। কোনো ভগ্নাংশকে একাধিক সরল ভগ্নাংশের যোগফল রূপে লিখলে, ওই ছোট ভগ্নাংশগুলোর প্রত্যেকটিকে মূল ভগ্নাংশের আংশিক ভগ্নাংশ বলে।

লব N(x)N(x) এর মাত্রা হর D(x)D(x) এর মাত্রার চেয়ে ছোটো হলে ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ। লবের মাত্রা হরের মাত্রার সমান বা বড়ো হলে তা অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। আংশিক ভগ্নাংশের নিয়ম প্রকৃত ভগ্নাংশে সরাসরি খাটে। তাই অপ্রকৃত ভগ্নাংশ হলে আগে লবকে হর দিয়ে ভাগ করে একটি বহুপদী (ভাগফল) ও একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের যোগফল বানাতে হয়।

হরের উৎপাদক কেমন, তার ওপর পদ্ধতি নির্ভর করে: হরে পুনরাবৃত্তিহীন একঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক, পুনরাবৃত্ত একঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক, অথবা দ্বিঘাতবিশিষ্ট উৎপাদক থাকতে পারে। সরল ক্ষেত্রে হর পুনরাবৃত্তিহীন একঘাতবিশিষ্ট উৎপাদকে বিভক্ত থাকে।

সরল ক্ষেত্রের ধাপ

  • হরকে একঘাতবিশিষ্ট উৎপাদকে ভাঙো।
  • প্রতিটি উৎপাদক (x−a)(x-a) এর জন্য একটি পদ Ax−a\dfrac{A}{x-a} ধরে অভেদ লেখো।
  • উভয়পক্ষকে পুরো হর দিয়ে গুণ করো; ফলে পাওয়া অভেদটি xx এর সকল মানের জন্য সত্য।
  • প্রতিটি উৎপাদককে শূন্য করে এমন xx এর মান বসিয়ে AA, BB ইত্যাদি ধ্রুবক নির্ণয় করো।

উদাহরণ: x+7(x+1)(x−2)\dfrac{x+7}{(x+1)(x-2)} কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

ধরি, x+7(x+1)(x−2)≡Ax+1+Bx−2\dfrac{x+7}{(x+1)(x-2)}\equiv\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-2}। উভয়পক্ষকে (x+1)(x−2)(x+1)(x-2) দিয়ে গুণ করে পাই x+7≡A(x−2)+B(x+1)x+7\equiv A(x-2)+B(x+1)।

x=−1x=-1 বসালে 6=−3A6=-3A, তাই A=−2A=-2। x=2x=2 বসালে 9=3B9=3B, তাই B=3B=3। সুতরাং x+7(x+1)(x−2)=3x−2−2x+1\dfrac{x+7}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{2}{x+1}। ডানপক্ষকে আবার এক হরে যোগ করলে 3(x+1)−2(x−2)(x+1)(x−2)=x+7(x+1)(x−2)\dfrac{3(x+1)-2(x-2)}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{x+7}{(x+1)(x-2)} পাওয়া যায়, অর্থাৎ উত্তর ঠিক আছে।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশের উদাহরণ: x2+1(x−1)(x+1)\dfrac{x^{2}+1}{(x-1)(x+1)}। এখানে লব ও হর দুটিরই মাত্রা 2। ভাগ করলে পাই 1+2(x−1)(x+1)1+\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}। এরপর একই পদ্ধতিতে 2(x−1)(x+1)=1x−1−1x+1\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}। তাই পুরো উত্তর 1+1x−1−1x+11+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}।

এখানে xx চলক এবং AA, BB ধ্রুবক সংখ্যা; এগুলো কোনো ভৌত রাশি নয়, তাই কোনো একক নেই।

সাধারণ ভুল হলো অপ্রকৃত ভগ্নাংশে ভাগ না করেই সরাসরি Ax−1+Bx+1\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1} ধরে নেওয়া; তখন অভেদ মেলে না। আরেকটি ভুল হলো উৎপাদকের চিহ্ন উল্টে ফেলা: (x+1)(x+1) কে শূন্য করতে x=−1x=-1 বসাতে হয়, x=1x=1 নয়।

মনে রাখো: আগে ভগ্নাংশটি প্রকৃত কি না দেখো; তারপর হরের প্রতিটি একঘাতবিশিষ্ট উৎপাদকের জন্য একটি করে আংশিক ভগ্নাংশ ধরো।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

এই টপিকের পার্থক্য

অনুশীলনের প্রশ্ন

  1. বিকাশের (bKash) লেনদেন ফি সংক্রান্ত একটি গাণিতিক মডেলে শিক্ষার্থী সামিয়া (x² + ১) ⁄ ((x − ১)(x − ২)) ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে (partial fraction) প্রকাশ করার উদ্যোগ নিল। ভগ্নাংশটির আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশের সঠিক আদর্শ রূপ কোনটি?

    1. ক

      ১ + A/(x − ১) + B/(x − ২)

    2. খ

      A/(x − ১) + B/(x − ২)

    3. গ

      (Ax + B)/((x − ১)(x − ২))

    4. ঘ

      x + A/(x − ১) + B/(x − ২)

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ক) ১ + A/(x − ১) + B/(x − ২)

    1. ভগ্নাংশটির লবের বহুপদী (x² + ১)-এর মাত্রা ২ এবং হরের বহুপদী (x − ১)(x − ২) = x² − ৩x + ২-এর মাত্রাও ২।
    2. যেহেতু লবের মাত্রা ও হরের মাত্রা সমান, তাই এটি একটি অপ্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ (improper rational fraction)।
    3. লবকে হর দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ১ (x² ⁄ x² = ১) এবং ভাগশেষ থাকে একটি রৈখিক রাশি। অতএব, আংশিক ভগ্নাংশের সঠিক রূপ হবে ১ + A/(x − ১) + B/(x − ২)।
    x2+1(x−1)(x−2)=1+Ax−1+Bx−2\frac{x^2+1}{(x-1)(x-2)} = 1 + \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}

  2. প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ (proper rational fraction) ও অপ্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশের (improper rational fraction) মধ্যে পার্থক্য কী? অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশের ক্ষেত্রে প্রথম পদক্ষেপটি দুটি বাক্যে ব্যাখ্যা করো।

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    যদি কোনো মূলদ ভগ্নাংশের লবের বহুপদীর মাত্রা হরের বহুপদীর মাত্রার চেয়ে কম হয় তবে তাকে প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ বলে, আর লবের মাত্রা হরের মাত্রার সমান বা বেশি হলে তাকে অপ্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ বলে। অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হলে প্রথমে দীর্ঘ ভাগের মাধ্যমে লবকে হর দ্বারা ভাগ করে একটি বহুপদী ভাগফল এবং একটি প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশের সমষ্টি আকারে প্রকাশ করতে হয়।

    1. লব ও হরের মাত্রার তুলনা: লবের মাত্রা < হরের মাত্রা হলে প্রকৃত ভগ্নাংশ, এবং লবের মাত্রা ≥ হরের মাত্রা হলে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।
    2. অপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে রূপান্তরের নিয়ম: লবকে হর দ্বারা ভাগ করে P(x) ⁄ Q(x) = K(x) + R(x) ⁄ Q(x) আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে K(x) একটি বহুপদী এবং R(x) ⁄ Q(x) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।
    P(x)Q(x)=K(x)+R(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)} = K(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}

  3. x∈Rx\in\mathbb{R} এবং x≠1,−2x\ne 1,-2 হলে 5x+1(x−1)(x+2)\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}-এর আংশিক ভগ্নাংশের রূপ কোনটি?

    1. ক

      3x−1+2x+2\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+2}

    2. খ

      2x−1+3x+2\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}

    3. গ

      2x−1−3x+2\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+2}

    4. ঘ

      3x−1−2x+2\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+2}

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    খ) 2x−1+3x+2\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}

    1. আংশিক ভগ্নাংশের লব যথাক্রমে AA ও BB ধরে হর দূর করি।
    5x+1=A(x+2)+B(x−1)5x+1=A(x+2)+B(x-1)
    1. সহগ তুলনা করে পাই A+B=5A+B=5 ও 2A−B=12A-B=1। সুতরাং A=2A=2 এবং B=3B=3।

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো