offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ২ · টপিক ২

সমমাত্রিক, প্রতিসম ও চক্র-ক্রমিক রাশি (অনূর্ধ্ব তিন চলক)

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

সমমাত্রিক, প্রতিসম ও চক্র-ক্রমিক রাশি (অনুর্ধ্ব তিন চলক)

সমমাত্রিক রাশি: একটি বহুপদী রাশি সমমাত্রিক হবে যদি এর প্রতিটি পদের মাত্রা সমান হয়। যেমন, x2+y2+xyx^2 + y^2 + xy একটি দ্বিমাত্রিক সমমাত্রিক রাশি। আবার a3+b3+3ab2a^3 + b^3 + 3ab^2 হলো ত্রিমাত্রিক সমমাত্রিক রাশি।

প্রতিসম রাশি: যদি কোনো রাশিতে চলকগুলোর স্থান পরস্পর বদলালে রাশির কোনো পরিবর্তন না হয়, তবে তাকে প্রতিসম রাশি বলে। যেমন, x+y+zx + y + z বা xy+yz+zxxy + yz + zx প্রতিসম, কারণ x,y,zx, y, z এর যেকোনো দুটি বদলালে রাশি একই থাকে।

চক্র-ক্রমিক রাশি: যদি চলকগুলোকে চক্রাকারে বদলালে (যেমন x→y,y→z,z→xx \to y, y \to z, z \to x) রাশি অপরিবর্তিত থাকে, তবে তাকে চক্র-ক্রমিক রাশি বলে। যেমন, x2y+y2z+z2xx^2y + y^2z + z^2x চক্র-ক্রমিক। কিন্তু এটি প্রতিসম নয়, কারণ xx ও yy বদলালে রাশি বদলে যায়।

উৎপাদক নির্ণয়: এ ধরনের রাশির উৎপাদক বিশ্লেষণে বিশেষ কৌশল লাগে। প্রথমে উৎপাদক উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি উৎপাদক খুঁজে নেওয়া হয়। তারপর রাশির ধরন (সমমাত্রিক, চক্র-ক্রমিক) দেখে বাকি উৎপাদকের আকার অনুমান করা হয়। ধ্রুবক নির্ণয়ের জন্য চলকের সুবিধাজনক মান বসানো হয়।

উদাহরণ: (b+c)(c+a)(a+b)+abc(b+c)(c+a)(a+b) + abc কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

ধরি P(a)=(b+c)(c+a)(a+b)+abcP(a) = (b+c)(c+a)(a+b) + abc।

P(−b−c)=(b+c)(c−b−c)(−b−c+b)+(−b−c)bc=0P(-b-c) = (b+c)(c-b-c)(-b-c+b) + (-b-c)bc = 0 → (a+b+c)(a+b+c) উৎপাদক।

রাশিটি ত্রিমাত্রিক সমমাত্রিক চক্র-ক্রমিক। একটি উৎপাদক (a+b+c)(a+b+c), তাই অপর উৎপাদক দ্বিমাত্রিক সমমাত্রিক চক্র-ক্রমিক হবে: k(a2+b2+c2)+m(ab+bc+ca)k(a^2 + b^2 + c^2) + m(ab + bc + ca)।

সমীকরণ গঠন করে a=0,b=0,c=1a=0,b=0,c=1 ও a=1,b=1,c=0a=1,b=1,c=0 বসিয়ে পাই k=0,m=1k=0, m=1।

সুতরাং, রাশি = (a+b+c)(ab+bc+ca)(a+b+c)(ab+bc+ca)।

মনে রাখো: চক্র-ক্রমিক রাশির উৎপাদকও সাধারণত চক্র-ক্রমিক হয়।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

  • x²y + y²z + z²x কি প্রতিসম?চালিয়ে দেখো

    নাদিয়া দেখল x² + y² + z² এ যেকোনো দুটি অক্ষর অদলবদল করলে রাশি একই থাকে। এবার সে x²y + y²z + z²x নিয়ে ভাবছে। এটি প্রতিসম, চক্রক্রমিক, দুটোই, না কোনোটিই নয়?

অনুশীলনের প্রশ্ন

  1. বগুড়ার একটি মৃৎশিল্প কারখানায় তিনটি ভিন্ন ধরনের মাটির পাত্রের নকশার ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত রাশিমালার বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করা হলো। নিচের কোন রাশিটি চক্র-ক্রমিক (cyclic), কিন্তু প্রতিসম (symmetric) নয়?

    1. ক

      x²y + y²z + z²x

    2. খ

      x² + y² + z² + xy + yz + zx

    3. গ

      x³ + y³ + z³ − 3xyz

    4. ঘ

      xy + yz

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ক) x²y + y²z + z²x

    1. চক্র-ক্রমিক রাশি (cyclic expression): x → y, y → z, z → x বসালে যদি রাশিটির মান অপরিবর্তিত থাকে। x²y + y²z + z²x রাশিতে এই রূপান্তর ঘটালে পাওয়া যায় y²z + z²x + x²y, যা মূল রাশির সমান; ফলে এটি চক্র-ক্রমিক।
    2. প্রতিসম রাশি (symmetric expression): যেকোনো দুটি চলক (যেমন x ও y) পরস্পর স্থান বিনিময় করলে রাশিটির মান অপরিবর্তিত থাকতে হয়। কিন্তু x ও y বিনিময় করলে পাওয়া যায় y²x + x²z + z²y, যা মূল রাশির সমান নয়।
    3. সুতরাং, x²y + y²z + z²x রাশিটি চক্র-ক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।

  2. পদ্মা বহুমুখী সেতুর সংযোগ সড়কের পাশে তিনটি ভিন্ন ত্রিভুজাকৃতির কংক্রিট ব্লকের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a, b, ও c (cm এককে)। চক্র-ক্রমিক রাশির ধর্ম অনুসারে যদি a + b + c = ১২ cm, ab + bc + ca = ৪৭ cm², এবং abc = ৬০ cm³ হয়, তবে চক্র-ক্রমিক উৎপাদকের গুণফল (a + b)(b + c)(c + a)-এর মান কত cm³?

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ৫০৪ cm³

    1. চক্র-ক্রমিক রাশির প্রমাণিক অভেদ অনুসারে, (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc।
    (a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)−abc(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc
    1. প্রদত্ত মানসমূহ বসিয়ে পাই: a + b + c = ১২, ab + bc + ca = ৪৭, এবং abc = ৬০।
    (a+b)(b+c)(c+a)=(12)(47)−60(a+b)(b+c)(c+a) = (12)(47) - 60
    1. ১২ × ৪৭ − ৬০ = ৫৬৪ − ৬০ = ৫০৪ cm³। (বিকল্পভাবে, a, b, c হলো ৩, ৪, ৫ cm, যার ফলে (৩ + ৪)(৪ + ৫)(৫ + ৩) = ৭ × ৯ × ৮ = ৫০৪ cm³)।
    564−60=504 cm3564 - 60 = 504\text{ cm}^3

  3. সমমাত্রিক রাশির সংজ্ঞা কোনটি?

    1. ক

      যে বহুপদীর সব পদের সহগ সমান

    2. খ

      যে বহুপদীর সব পদে একই চলক থাকে

    3. গ

      যে বহুপদীর সব পদে চলকের সংখ্যা সমান

    4. ঘ

      যে বহুপদীর সব পদের মাত্রা সমান

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ঘ) যে বহুপদীর সব পদের মাত্রা সমান

    1. কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদের মাত্রা সমান হলে তাকে সমমাত্রিক রাশি বলে।

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো