পদ্মা সেতু রেল সংযোগ প্রকল্পের একটি মালবাহী ট্রেনের বগির ধারণক্ষমতা ও মালামাল পরিবহনের গতিপ্রকৃতি বিশ্লেষণে তিনটি বীজগাণিতিক রাশি বিবেচনা করা হলো: P(x) = 2x³ − 3x² − 11x + 6 Q(x, y, z) = x³ + y³ + z³ − 3xyz F(x) = (5x − 7) ⁄ ((x − ১)(x − ২))
- ক
যদি x + y + z = ০ হয়, তবে দেখাও যে Q(x, y, z) = ০।
উত্তর দেখাও
আমরা জানি, Q(x, y, z) = x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx)। যেহেতু উদ্দীপক অনুসারে x + y + z = ০, সুতরাং Q(x, y, z) = ০ × (x² + y² + z² − xy − yz − zx) = ০ (দেখানো হলো)।
- খ
উৎপাদক উপপাদ্য (factor theorem) ব্যবহার করে P(x)-কে সম্পূর্ণরূপে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।
উত্তর দেখাও
প্রদত্ত বহুপদী P(x) = 2x³ − 3x² − 11x + 6। x = ৩ বসিয়ে পাই: P(৩) = ২(৩³) − ৩(৩²) − ১১(৩) + ৬ = ২(২৭) − ৩(৯) − ৩৩ + ৬ = ৫৪ − ২৭ − ৩৩ + ৬ = ৬০ − ৬০ = ০। যেহেতু P(৩) = ০, তাই উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে (x − ৩) হলো P(x)-এর একটি উৎপাদক। এখন, P(x) = 2x³ − 3x² − 11x + 6 = 2x²(x − ৩) + 3x(x − ৩) − 2(x − ৩) = (x − ৩)(2x² + 3x − 2) = (x − ৩)[2x² + 4x − x − 2] = (x − ৩)[2x(x + ২) − ১(x + ২)] = (x − ৩)(2x − ১)(x + ২)। অতএব, P(x)-এর নির্ণেয় উৎপাদক বিশ্লেষণ হলো (x − ৩)(2x − ১)(x + ২)।
- গ
F(x)-কে আংশিক ভগ্নাংশে (partial fractions) প্রকাশ করো।
উত্তর দেখাও
প্রদত্ত ভগ্নাংশ F(x) = (5x − 7) ⁄ ((x − ১)(x − ২)) একটি প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ, কারণ লবের মাত্রা ১ এবং হরের মাত্রা ২। ধরি, (5x − 7) ⁄ ((x − ১)(x − ২)) ≡ A/(x − ১) + B/(x − ২) ... (১) উভয় পক্ষকে (x − ১)(x − ২) দ্বারা গুণ করে পাই: 5x − 7 ≡ A(x − ২) + B(x − ১) ... (২) (২) নং সমীকরণে x = ১ বসিয়ে পাই: ৫(১) − ৭ = A(১ − ২) + B(০) ⇒ −২ = −A ⇒ A = ২। (২) নং সমীকরণে x = ২ বসিয়ে পাই: ৫(২) − ৭ = A(০) + B(২ − ১) ⇒ ৩ = B(১) ⇒ B = ৩। (১) নং সমীকরণে A ও B-এর মান বসিয়ে পাই: (5x − 7) ⁄ ((x − ১)(x − ২)) = ২/(x − ১) + ৩/(x − ২)। অতএব, নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ হলো ২/(x − ১) + ৩/(x − ২)।