offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ২ · টপিক ১

বহুপদী

  • এক চলকবিশিষ্ট বহুপদী
  • বহুপদীর গুণ ও ভাগ
  • বহুপদীর উৎপাদক বিশ্লেষণ (ভাগশেষ উপপাদ্য ও উৎপাদক উপপাদ্য)
চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

বহুপদী

বহুপদী হলো এক বা একাধিক পদের যোগফল, যেখানে প্রতিটি পদ হয় ধ্রুবক অথবা চলকের অঋণাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাতের গুণফল। যেমন: 2x2+3x−52x^2 + 3x - 5 একটি বহুপদী। এখানে 2x22x^2, 3x3x, −5-5 হলো পদ। প্রতিটি পদে চলকের ঘাতের যোগফলকে পদের মাত্রা বলে। যেমন, 3x2y3x^2y এর মাত্রা 2+1=32+1=3। বহুপদীর মাত্রা হলো এর সবচেয়ে বড় মাত্রার পদের মাত্রা। যেমন, 4x3+2x−14x^3 + 2x - 1 এর মাত্রা 33।

এক চলকবিশিষ্ট বহুপদী হলো যে বহুপদীতে শুধু একটি চলক থাকে, যেমন P(x)=x3−2x+7P(x) = x^3 - 2x + 7। এর আদর্শ আকার হয় P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0, যেখানে an≠0a_n \ne 0।

বহুপদীর গুণ ও ভাগ: বহুপদীর গুণ সাধারণ বীজগাণিতিক নিয়মে করা হয়। ভাগের ক্ষেত্রে দীর্ঘ ভাগের নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। ভাগের ফলে পাওয়া যায় ভাগফল ও ভাগশেষ।

ভাগশেষ উপপাদ্য: যদি কোনো বহুপদী P(x)P(x) কে (x−a)(x - a) দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P(a)P(a)। যেমন, P(x)=x2−3x+2P(x) = x^2 - 3x + 2 কে (x−1)(x - 1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ P(1)=1−3+2=0P(1) = 1 - 3 + 2 = 0।

উৎপাদক উপপাদ্য: যদি P(a)=0P(a) = 0 হয়, তবে (x−a)(x - a) হবে P(x)P(x) এর একটি উৎপাদক। এটি ভাগশেষ উপপাদ্যের সরাসরি ফলাফল।

উৎপাদক বিশ্লেষণের কৌশল: প্রথমে সম্ভাব্য উৎপাদক (x−r)(x - r) খুঁজতে হয়, যেখানে rr হলো ধ্রুবপদের উৎপাদক। তারপর P(r)=0P(r) = 0 কিনা পরীক্ষা করে উৎপাদক নির্ণয় করা হয়। তারপর ভাগ করে বা পুনর্বিন্যাস করে বাকি অংশ উৎপাদকে ভাগ করা হয়।

উদাহরণ: P(x)=x3−6x2+11x−6P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

ধ্রুবপদ = −6-6, এর উৎপাদক: ±1,±2,±3,±6\pm1, \pm2, \pm3, \pm6।

P(1)=1−6+11−6=0P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 → (x−1)(x - 1) উৎপাদক।

P(2)=8−24+22−6=0P(2) = 8 - 24 + 22 - 6 = 0 → (x−2)(x - 2) উৎপাদক।

P(3)=27−54+33−6=0P(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0 → (x−3)(x - 3) উৎপাদক।

মাত্রা 3, তিনটি উৎপাদক পাওয়া গেছে। তাই,

P(x)=(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)।

মনে রাখো: উৎপাদক উপপাদ্য ব্যবহার করে বহুপদীর উৎপাদক খুঁজতে হলে প্রথমে P(a)=0P(a) = 0 হয় কিনা পরীক্ষা করো।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

  • ভাগ না করেই উৎপাদক নির্ণয়চালিয়ে দেখো

    একটি বাক্সের আয়তন বহুপদী P(x) = x³ − 4x² + x + 6। বাক্সটিকে (x − ১) দৈর্ঘ্যের খণ্ডে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৪ (অর্থাৎ P(১) = ৪, তাই x − ১ উৎপাদক নয়)। যদি ভাজকটি (x − ৩) হয়, তবে দীর্ঘ ভাগ না করে ভাগশেষ উপপাদ্যের সাহায্যে বলো ভাগশেষ কত হবে এবং (x − ৩) কি বহুপদীটির একটি উৎপাদক?

এই টপিকের পার্থক্য

অনুশীলনের প্রশ্ন

  1. দিনাজপুরের এক কৃষক সুগন্ধি কাটারিভোগ ধানের ফলন মডেল করতে গিয়ে একটি বহুপদী (polynomial) রাশি P(x) = 8 − 5x² + 12x⁴ − 3x³ গঠন করলেন, যেখানে x হলো সার প্রয়োগের মাত্রা। বহুপদীটির মাত্রা (degree) ও মুখ্য সহগ (leading coefficient) যথাক্রমে কত?

    1. ক

      ৪ এবং ১২

    2. খ

      ৪ এবং ৮

    3. গ

      ৩ এবং −৩

    4. ঘ

      ৪ এবং −৫

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ক) ৪ এবং ১২

    1. বহুপদীটিকে চলক x-এর ঘাতের অধঃক্রম (descending order) অনুসারে সাজিয়ে পাই: P(x) = 12x⁴ − 3x³ − 5x² + 8।
    P(x)=12x4−3x3−5x2+8P(x) = 12x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 8
    1. চলক x-এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো ৪, তাই বহুপদীটির মাত্রা (degree) ৪।
    2. সর্বোচ্চ ঘাত সংবলিত পদটি হলো 12x⁴ (মুখ্যপদ), সুতরাং এর সহগ ১২ হলো মুখ্য সহগ (leading coefficient)।

  2. রাজশাহীর একটি আম প্রক্রিয়াকরণ কারখানায় জুসের প্যাকেটের আয়তন বহুপদী P(x) = x³ − 4x² + kx − 6 ঘন সেন্টিমিটার (cm³)। প্যাকেটটির একটি প্রান্তের দৈর্ঘ্য (x − ৩) cm হলে এবং (x − ৩) রাশিটি P(x)-এর একটি উৎপাদক (factor) হলে, ধ্রুবক k-এর মান কত?

    1. ক

      ৫

    2. খ

      −৫

    3. গ

      −২৩

    4. ঘ

      ৩

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ক) ৫

    1. উৎপাদক উপপাদ্য (factor theorem) অনুসারে, যদি (x − ৩) রাশিটি P(x)-এর একটি উৎপাদক হয়, তবে P(৩) = ০ হবে।
    P(3)=0P(3) = 0
    1. বহুপদীতে x = ৩ বসিয়ে পাই: P(৩) = ৩³ − ৪(৩²) + k(৩) − ৬ = ২৭ − ৩৬ + ৩k − ৬ = ৩k − ১৫।
    P(3)=33−4(32)+3k−6=3k−15P(3) = 3^3 - 4(3^2) + 3k - 6 = 3k - 15
    1. যেহেতু P(৩) = ০, তাই ৩k − ১৫ = ০ ⇒ ৩k = ১৫ ⇒ k = ৫।
    3k−15=0  ⟹  k=53k - 15 = 0 \implies k = 5

  3. সিলেটের একটি চা-বাগানের গুদামে প্রক্রিয়াজাত চা-পাতা সংরক্ষণের জন্য তৈরি কাঠের বাক্সের ধারণক্ষমতা একটি বহুপদী P(x) = 2x³ − 5x² + 7x − 4 ঘনমিটার (m³) দ্বারা নির্দেশিত। ভাগশেষ উপপাদ্য (remainder theorem) প্রয়োগ করে রাশিটিকে (x − ৩) m দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত ঘনমিটার (m³) হবে তা নির্ণয় করো।

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ২৬ m³

    1. ভাগশেষ উপপাদ্য (remainder theorem) অনুসারে, ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী P(x)-কে (x − a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় R = P(a)।
    2. এখানে ভাজক হলো (x − ৩), সুতরাং a = ৩। প্রদত্ত বহুপদীতে x = ৩ বসিয়ে ভাগশেষ নির্ণয় করি:
    P(3)=2(3)3−5(3)2+7(3)−4P(3) = 2(3)^3 - 5(3)^2 + 7(3) - 4
    1. P(৩) = ২(২৭) − ৫(৯) + ২১ − ৪ = ৫৪ − ৪৫ + ২১ − ৪ = ২৬ m³।
    P(3)=54−45+21−4=26 m3P(3) = 54 - 45 + 21 - 4 = 26\text{ m}^3

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো