ভাগ না করেই উৎপাদক নির্ণয়
মান বদলাও, চালাও, আর দেখো কী ঘটে।
একটি বাক্সের আয়তন বহুপদী P(x) = x³ − 4x² + x + 6। বাক্সটিকে (x − ১) দৈর্ঘ্যের খণ্ডে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৪ (অর্থাৎ P(১) = ৪, তাই x − ১ উৎপাদক নয়)। যদি ভাজকটি (x − ৩) হয়, তবে দীর্ঘ ভাগ না করে ভাগশেষ উপপাদ্যের সাহায্যে বলো ভাগশেষ কত হবে এবং (x − ৩) কি বহুপদীটির একটি উৎপাদক?
(x − ৩) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে এবং এটি কি উৎপাদক?
- ভাগশেষ ০, তাই (x − ৩) একটি উৎপাদক
- ভাগশেষ ২ — ভাজক ২ বাড়ায় ভাগশেষ ৪ থেকে ২ কমে যাবে
- ভাগশেষ −৬০ — ভাজক (x − ৩) হওয়ায় x = −৩ বসাতে হবে, তাই উৎপাদক নয়
যা বদলাতে পারবে
- ভাজকের মান k (ভাজক x − k): −৩ থেকে ৫
যা মেপে দেখাবে
- P(k) এর মান
- ভাগশেষ (R)
- (x − k) কি উৎপাদক?
চালানোর সময় খেয়াল করো
- স্লাইডারটি ৩ এ নাও। লেখচিত্রটি x-অক্ষকে ঠিক কোথায় ছেদ করেছে? তখন P(k) এর মান কত?
নিজে করে দেখো
- বাক্সের বহুপদী P(x)-এর তিনটি উৎপাদকই খুঁজে বের করো: একটি ঋণাত্মক k, একটি ১ থেকে ২.৫-এর মধ্যে, আর একটি ২.৫-এর বেশি।
ইঙ্গিত
P(k) = ০ হলেই (x − k) একটি উৎপাদক। ধ্রুবক পদ ৬-এর উৎপাদকগুলো পরীক্ষা করো।
ধারণাটা কী?আগে নিজে চালিয়ে দেখো, তারপর খোলো।
ভাগশেষ উপপাদ্য ও উৎপাদক উপপাদ্য
কোনো বহুপদী P(x) কে (x − k) দ্বারা ভাগ করলে দীর্ঘ ভাগ না করেই ভাগশেষ পাওয়া যায় P(k) হিসাব করে (ভাগশেষ উপপাদ্য)। যদি এই ভাগশেষ শূন্য হয় অর্থাৎ P(k) = ০, তবেই (x − k) বহুপদীটির একটি উৎপাদক হয় (উৎপাদক উপপাদ্য)। লেখচিত্রে দেখা যায়, ঠিক যে k বিন্দুতে লেখচিত্রটি x-অক্ষকে ছেদ করে, সেখানেই P(k) = ০ হয়।
অন্য উত্তরগুলো কেন ভুল
ভাগশেষ ভাজকের পরিবর্তনের সাথে সরল বা রৈখিকভাবে পরিবর্তিত হয় না; ভাগশেষ পেতে সরাসরি বহুপদীতে x = k বসাতে হয়। আর ভাজক (x − ৩) হলে x − ৩ = ০ ধরে x = ৩ বসাতে হবে, −৩ নয়। P(৩) = ৩³ − ৪(৩²) + ৩ + ৬ = ২৭ − ৩৬ + ৩ + ৬ = ০। ভাগশেষ ০ হওয়ায় (x − ৩) একটি উৎপাদক।
যেসব ভুল ধারণা হয়
- ভাজকের মান পরিবর্তন করলে ভাগশেষ সমানুপাতিক বা রৈখিকভাবে পরিবর্তিত হয়
- ভাজক (x − k) হলে বহুপদীতে x এর বদলে −k বসাতে হয়
বাস্তবে কোথায় দেখা যায়
- প্যাকেজিং ও কার্টনে পণ্যের অপচয়হীন প্যাকিংয়ের জন্য সঠিক পরিমাপ নির্ধারণ
- কম্পিউটার গ্রাফিক্স ও গেমসে গতিপথ বা বক্ররেখা ভূমির সাথে কোথায় মিলিত হয় তা দ্রুত বের করা