offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ৫ · টপিক ১

দ্বিঘাত সমীকরণ (ax² + bx + c = 0) সমাধান

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

চলকের যে মান বা মানগুলোর জন্য সমীকরণের উভয় পক্ষ সমান হয়, সেগুলোকে সমীকরণের মূল বলে। এক চলকের দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শরূপ ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0, যেখানে aa, bb, cc বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0a\neq0। মূলগুলো মূলদ হলে বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেই সমাধান করা যায়, কিন্তু সব রাশিকে সহজে উৎপাদকে ভাঙা যায় না। তাই একটি সাধারণ পদ্ধতি দরকার।

উভয় পক্ষকে aa দিয়ে গুণ করে পূর্ণবর্গ বানালে পাওয়া যায় (ax+b2)2=b2−4ac4\left(ax+\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\dfrac{b^{2}-4ac}{4}। এরপর বর্গমূল নিয়ে সাজালে

x=−b±b2−4ac2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

এখানে b2−4acb^{2}-4ac কে নিশ্চায়ক বলে, কারণ এটি মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি নির্ণয় করে:

  • aa, bb, cc মূলদ এবং b2−4ac>0b^{2}-4ac>0 কোনো মূলদ সংখ্যার বর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
  • b2−4ac>0b^{2}-4ac>0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।
  • b2−4ac=0b^{2}-4ac=0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান, x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a}।
  • b2−4ac<0b^{2}-4ac<0 হলে বাস্তব মূল নেই।

উদাহরণ ১: 2x2−3x−2=02x^{2}-3x-2=0। এখানে a=2a=2, b=−3b=-3, c=−2c=-2। নিশ্চায়ক =(−3)2−4⋅2⋅(−2)=9+16=25=(-3)^{2}-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25, যা ধনাত্মক ও পূর্ণবর্গ; তাই মূল দুটি মূলদ। x=3±54x=\dfrac{3\pm5}{4}, অর্থাৎ x=2x=2 বা x=−12x=-\dfrac{1}{2}। যাচাই: x=2x=2 হলে 8−6−2=08-6-2=0।

উদাহরণ ২: x2+2x+5=0x^{2}+2x+5=0 এ নিশ্চায়ক =4−20=−16<0=4-20=-16<0, তাই এর কোনো বাস্তব মূল নেই।

এখানে aa, bb, cc ও xx বিশুদ্ধ সংখ্যা, তাই কোনো একক নেই।

সাধারণ ভুল হলো bb ঋণাত্মক হলে −b-b এর চিহ্ন ভুল করা, অথবা 2a2a দিয়ে শুধু বর্গমূলের অংশটি ভাগ করা। পুরো লব −b±b2−4ac-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} কে 2a2a দিয়ে ভাগ করতে হয়।

মনে রাখো: ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0 এর মূল x=−b±b2−4ac2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}; নিশ্চায়ক b2−4acb^{2}-4ac দেখে আগেই মূলের প্রকৃতি বোঝা যায়।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

  • ছাদবাগানের আয়তাকার প্লট ও দ্বিঘাত সমীকরণচালিয়ে দেখো

    ঢাকায় একটি বাড়ির ছাদে শাকসবজি চাষের একটি আয়তাকার প্লটের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে ৩ m বেশি এবং ক্ষেত্রফল ৪০ m²। প্রস্থ x m হলে দৈর্ঘ্য (x + ৩) m এবং সমীকরণটি দাঁড়ায়: x(x + ৩) = ৪০ বা x² + ৩x − ৪০ = ০ (এখানে a = ১, b = ৩)। শুরুতে c = ০ তে ক্ষেত্রফল ০ m² থাকে। স্লাইডারে c = -৪০ সেট করে সমীকরণটি সমাধান করলে প্লটটির বাস্তবসম্মত প্রস্থ x কত মিটার হবে?

এই টপিকের পার্থক্য

অনুশীলনের প্রশ্ন

  1. একটি দ্বিঘাত সমীকরণ 2x² − 7x + 3 = 0 দেওয়া আছে। সমীকরণটির মূলদ্বয়ের প্রকৃতি (nature of roots) কীরূপ?

    1. ক

      বাস্তব, অসমান ও মূলদ

    2. খ

      বাস্তব ও সমান

    3. গ

      বাস্তব, অসমান ও অমূলদ

    4. ঘ

      জটিল বা অবাস্তব

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ক) বাস্তব, অসমান ও মূলদ

    1. সমীকরণটিকে আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0-এর সাথে তুলনা করে পাই: a = ২, b = -৭, c = ৩।
    a=2, b=−7, c=3a = 2,\ b = -7,\ c = 3
    1. নিশ্চায়ক (discriminant) D = b² − 4ac = (-৭)² − ৪ × ২ × ৩ = ৪৯ − ২৪ = ২৫।
    D=b2−4ac=(−7)2−4(2)(3)=25D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(3) = 25
    1. যেহেতু D > ০ এবং ২৫ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (২৫ = ৫²), তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।

  2. ময়মনসিংহের একজন মৎস্যচাষির একটি আয়তাকার মাছের পুকুর রয়েছে। পুকুরটির পরিসীমা ৫৬ m এবং ক্ষেত্রফল ১৯২ m²। পুকুরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ১৬ m

    1. ধরি, পুকুরটির দৈর্ঘ্য x m এবং প্রস্থ y m (যেখানে x ≥ y)। শর্তমতে, পরিসীমা ২(x + y) = ৫৬ ⇒ x + y = ২৮ বা y = ২৮ − x।
    x+y=28  ⟹  y=28−xx + y = 28 \implies y = 28 - x
    1. ক্ষেত্রফলের শর্তমতে, xy = ১৯২ ⇒ x(২৮ − x) = ১৯২ ⇒ x² − ২৮x + ১৯২ = ০।
    x2−28x+192=0x^2 - 28x + 192 = 0
    1. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: (x − ১৬)(x − ১২) = ০, সুতরাং x = ১৬ বা x = ১২। যেহেতু দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে বড় বা সমান (x ≥ y), তাই পুকুরটির দৈর্ঘ্য ১৬ m।

  3. একটি ব্যাটারিচালিত অটোরিকশা সিরাজগঞ্জ থেকে উল্লাপাড়া পর্যন্ত ২৪০০০ m দূরত্ব সমবেগে অতিক্রম করে। রিকশাটির গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে ২ m বৃদ্ধি পেলে গন্তব্যে পৌঁছাতে ৪০০ s কম সময় লাগত। রিকশাটির প্রকৃত গতিবেগ কত m/s ছিল?

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ১০ m/s

    1. ধরি, অটোরিকশাটির প্রকৃত গতিবেগ v m/s। ২৪০০০ m যেতে প্রয়োজনীয় সময় t₁ = ২৪০০০ / v সেকেন্ড।
    t1=24000vt_1 = \frac{24000}{v}
    1. বেগ ২ m/s বৃদ্ধি পেলে নতুন বেগ (v + ২) m/s এবং নতুন সময় t₂ = ২৪০০০ / (v + ২) সেকেন্ড। শর্তমতে, t₁ − t₂ = ৪০০ s।
    24000v−24000v+2=400\frac{24000}{v} - \frac{24000}{v+2} = 400
    1. উভয় পক্ষকে ৪০০ দ্বারা ভাগ করে পাই: ৬০ / v − ৬০ / (v + ২) = ১ ⇒ ৬০(v + ২ − v) = v(v + ২) ⇒ v² + ২v − ১২০ = ০।
    v2+2v−120=0v^2 + 2v - 120 = 0
    1. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: (v − ১০)(v + ১২) = ০। গতিবেগ কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না (v > ০), তাই প্রকৃত গতিবেগ v = ১০ m/s।

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো