চলকের যে মান বা মানগুলোর জন্য সমীকরণের উভয় পক্ষ সমান হয়, সেগুলোকে সমীকরণের মূল বলে। এক চলকের দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শরূপ ax²+bx+c=0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0।
সমীকরণে চলকের বর্গমূলযুক্ত রাশি থাকলে তাকে মূল চিহ্ন সংবলিত সমীকরণ বা বর্গমূলবিশিষ্ট সমীকরণ বলে, যেমন √(x+7)=x+1। উভয় পক্ষ বর্গ করে বর্গমূল চিহ্নমুক্ত নতুন সমীকরণ পাওয়া যায়।
যে সমীকরণে অজ্ঞাত চলক সূচকরূপে থাকে, তাকে সূচক সমীকরণ বলে। যেমন 2ˣ=8, 16ˣ=4ˣ⁺² বা 2ˣ⁺¹-2ˣ-8=0। এ ধরনের সমীকরণ সমাধানে সূচকের একটি ধর্ম বারবার ব্যবহার হয়: a0, a≠1 হলে aˣ=a^m হবে যদি ও কেবল যদি x=m হয়।
দুই চলক x ও y সংবলিত দুটি সমীকরণ একসঙ্গে বিবেচনা করলে তাকে সমীকরণ জোট বলে। জোটটি দুটি একঘাত সমীকরণ, একটি একঘাত ও একটি দ্বিঘাত, অথবা দুটি দ্বিঘাত সমীকরণ দিয়ে গঠিত হতে পারে।
দ্বিঘাত সমীকরণ ax²+bx+c=0 বীজগণিতীয় পদ্ধতি ছাড়াও লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করা যায়। ধরি y=ax²+bx+c। x এর যে সব মানের জন্য y=0 হয়, অর্থাৎ লেখচিত্রটি x-অক্ষকে ছেদ বা স্পর্শ করে, সেগুলোই সমীকরণের সমাধান।
রংপুরের তারাগঞ্জে একটি কৃষক সমবায় সমিতি বোরো মৌসুমে সেচ সুবিধার জন্য একটি আয়তাকার সৌরবিদ্যুৎ প্রকল্প এলাকা নির্ধারণ করল। এলাকাটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে ৪ m বেশি এবং ক্ষেত্রফল ৯৬ m²। অন্যদিকে, প্রকল্পটির বিদ্যুৎ উৎপাদন ও ব্যয়ের সমন্বয় হিসেবে দুটি চলক x ও y সম্পর্কিত দুটি সমীকরণ হলো: x + y = ৭ এবং x² + y² = ২৯।
ক
3x² − 2x + 1 = 0 সমীকরণটির কোনো বাস্তব মূল নেই কেন — নিশ্চয়কের সাহায্যে ব্যাখ্যা করো।
উত্তর দেখাও
প্রদত্ত সমীকরণ 3x² − 2x + 1 = 0-এ a = ৩, b = -২, c = ১। নিশ্চয়ক D = b² − 4ac = (-২)² − ৪(৩)(১) = ৪ − ১২ = -৮। যেহেতু নিশ্চয়ক ঋণাত্মক (D < ০), তাই সমীকরণটির কোনো বাস্তব মূল নেই (মূলদ্বয় অবাস্তব)।
খ
উদ্দীপকের তথ্য অনুসারে সৌরবিদ্যুৎ প্রকল্প এলাকার পরিসীমা নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও
ধরি, প্রকল্প এলাকার প্রস্থ w m, সুতরাং দৈর্ঘ্য (w + ৪) m। ক্ষেত্রফল w(w + ৪) = ৯৬ ⇒ w² + ৪w − ৯৬ = ০ ⇒ (w + ১২)(w − ৮) = ০। প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না (w > ০), তাই w = ৮ m এবং দৈর্ঘ্য = ৮ + ৪ = ১২ m। অতএব, পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(১২ + ৮) = ৪০ m।
গ
উদ্দীপকের সমীকরণজোট x + y = ৭ এবং x² + y² = ২৯ সমাধান করে (x, y)-এর বাস্তব মানগুলো নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও
প্রথম সমীকরণ থেকে পাই, y = ৭ − x। এটি দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই: x² + (৭ − x)² = ২৯ ⇒ x² + ৪৯ − ১৪x + x² = ২৯ ⇒ ২x² − ১৪x + ২০ = ০ ⇒ x² − ৭x + ১০ = ০। বা, (x − ২)(x − ৫) = ০, ফলে x = ২ বা x = ৫। এখন, x = ২ হলে y = ৭ − ২ = ৫ এবং x = ৫ হলে y = ৭ − ৫ = ২। অতএব নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (২, ৫) অথবা (৫, ২)।
