লেখচিত্রে y = x² পরাবৃত্ত (parabola) এবং y = 2x + 3 সরলরেখার ছেদবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক কোনটি?

সঠিক উত্তর: ক) (৩, ৯) ও (-১, ১)। ছেদবিন্দুতে উভয় সমীকরণের y-এর মান সমান: x² = 2x + 3। পক্ষান্তর ও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: (x − 3)(x + 1) = 0, অর্থাৎ x = ৩ বা x = -১। x = ৩ হলে y = ৩² = ৯, ফলে প্রথম বিন্দুটি (৩, ৯)। x = -১ হলে y = (-১)² = ১, ফলে দ্বিতীয় বিন্দুটি (-১, ১)।

ময়মনসিংহের একজন মৎস্যচাষির একটি আয়তাকার মাছের পুকুর রয়েছে। পুকুরটির পরিসীমা ৫৬ m এবং ক্ষেত্রফল ১৯২ m²। পুকুরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সঠিক উত্তর: ১৬ m। ধরি, পুকুরটির দৈর্ঘ্য x m এবং প্রস্থ y m (যেখানে x ≥ y)। শর্তমতে, পরিসীমা ২(x + y) = ৫৬ ⇒ x + y = ২৮ বা y = ২৮ − x। ক্ষেত্রফলের শর্তমতে, xy = ১৯২ ⇒ x(২৮ − x) = ১৯২ ⇒ x² − ২৮x + ১৯২ = ০। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: (x − ১৬)(x − ১২) = ০, সুতরাং x = ১৬ বা x = ১২। যেহেতু দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে বড় বা সমান (x ≥ y), তাই পুকুরটির দৈর্ঘ্য ১৬ m।

একটি আয়তাকার বাগানের পরিসীমা 32 m এবং ক্ষেত্রফল 60 m²। বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে বেশি হলে প্রস্থ কত?

সঠিক উত্তর: গ) 6 m। দৈর্ঘ্য x m ও প্রস্থ y m ধরলে x>y>0, x+y=16 এবং xy=60। x=16-y বসিয়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে y=6 অথবা y=10 পাওয়া যায়। দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে বেশি, তাই প্রস্থ 6 m এবং দৈর্ঘ্য 10 m।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ৫ · টপিক ৪

দুই চলক একঘাত ও দ্বিঘাত সমীকরণের জোট

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

দুই চলক $x$ ও $y$ সংবলিত দুটি সমীকরণ একসঙ্গে বিবেচনা করলে তাকে সমীকরণ জোট বলে। জোটটি দুটি একঘাত সমীকরণ, একটি একঘাত ও একটি দ্বিঘাত, অথবা দুটি দ্বিঘাত সমীকরণ দিয়ে গঠিত হতে পারে। $(x, y)=(a, b)$ জোটের একটি সমাধান হবে, যদি উভয় সমীকরণে $x$ এর স্থলে $a$ এবং $y$ এর স্থলে $b$ বসালে দুই পক্ষ সমান হয়।

প্রধান পদ্ধতিগুলো:

প্রতিস্থাপন: একটি সমীকরণ থেকে একটি চলককে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করে অপর সমীকরণে বসানো। একঘাত ও দ্বিঘাত সমীকরণের জোটে এটি সবচেয়ে সহজ।
অপনয়ন বা তুলনা: দুটি সমীকরণ যোগ-বিয়োগ করে বা একই রাশির দুটি মান সমান ধরে একটি চলক বাদ দেওয়া।
আড়গুণন: দুটি একঘাত সমীকরণের জোটে সরাসরি $x$ ও $y$ বের করা।

উদাহরণ: একটি আয়তাকার পুকুরের পরিসীমা $14$ মি. এবং ক্ষেত্রফল $12$ বর্গ মি.। দৈর্ঘ্য $x$ মি. ও প্রস্থ $y$ মি. ধরলে $2(x+y)=14$ , অর্থাৎ $x+y=7$ এবং $xy=12$ ।

প্রথম সমীকরণ থেকে $y=7-x$ । দ্বিতীয়টিতে বসিয়ে $x(7-x)=12$ , বা $x^{2}-7x+12=0$ , বা $(x-3)(x-4)=0$ । তাই $x=3$ হলে $y=4$ , এবং $x=4$ হলে $y=3$ । সমাধান $(3, 4)$ ও $(4, 3)$ ; দৈর্ঘ্য বড়ো ধরলে পুকুরটি $4$ মি. লম্বা ও $3$ মি. চওড়া। যাচাই: $4+3=7$ এবং $4\times3=12$ । দৈর্ঘ্যের SI একক মিটার, ক্ষেত্রফলের বর্গমিটার।

দুটি দ্বিঘাত সমীকরণের জোটে প্রায়ই দুটি সমীকরণ থেকে একই রাশি, যেমন $xy+1$ , বের করে তুলনা করলে একটি সহজ সম্পর্ক, যেমন $y=2x$ , পাওয়া যায়; তারপর প্রতিস্থাপন করা হয়।

সাধারণ ভুল হলো শুধু $x$ এর মান বের করে থেমে যাওয়া, অথবা $x$ ও $y$ এর মান ভুল জোড়ায় মিলিয়ে ফেলা। প্রতিটি $x$ এর জন্য তার নিজস্ব $y$ বের করে $(x, y)$ জোড়া হিসেবে লিখতে হবে।

মনে রাখো: সমীকরণ জোটের সমাধান হলো এমন $(x, y)$ জোড়া যা দুটি সমীকরণকেই একসঙ্গে সিদ্ধ করে; দ্বিঘাত জোটে একাধিক জোড়া থাকতে পারে।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

পরাবৃত্তের সাথে সরলরেখার ছেদচালিয়ে দেখো
একটি পদচারী-সেতুর বাঁকা গার্ডারের নকশায় পরাবৃত্তের সমীকরণ y = x²। প্রকৌশলীরা এর নিচ দিয়ে অনুভূমিকভাবে একটি সোজা পাইপ y = -১ বরাবর স্থাপন করেছেন (m = ০, p = -১), যা গার্ডারটিকে স্পর্শ করে না (০টি ছেদবিন্দু)। পাইপটিকে সোজা অনুভূমিক রেখে উপরে তুলে y = ৪ (p = ৪) বরাবর নিলে সেটি গার্ডারটিকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

লেখচিত্রে y = x² পরাবৃত্ত (parabola) এবং y = 2x + 3 সরলরেখার ছেদবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক কোনটি?
1. ক
  (৩, ৯) ও (-১, ১)
2. খ
  (৩, ৬) ও (-১, -২)
3. গ
  (-৩, ৯) ও (১, ১)
4. ঘ
  (৩, ৯) ও (১, ১)
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) (৩, ৯) ও (-১, ১)
1. ছেদবিন্দুতে উভয় সমীকরণের y-এর মান সমান: x² = 2x + 3।
$x^2 - 2x - 3 = 0$
1. পক্ষান্তর ও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: (x − 3)(x + 1) = 0, অর্থাৎ x = ৩ বা x = -১।
$(x - 3)(x + 1) = 0 \implies x = 3,\ -1$
1. x = ৩ হলে y = ৩² = ৯, ফলে প্রথম বিন্দুটি (৩, ৯)। x = -১ হলে y = (-১)² = ১, ফলে দ্বিতীয় বিন্দুটি (-১, ১)।
ময়মনসিংহের একজন মৎস্যচাষির একটি আয়তাকার মাছের পুকুর রয়েছে। পুকুরটির পরিসীমা ৫৬ m এবং ক্ষেত্রফল ১৯২ m²। পুকুরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
১৬ m
1. ধরি, পুকুরটির দৈর্ঘ্য x m এবং প্রস্থ y m (যেখানে x ≥ y)। শর্তমতে, পরিসীমা ২(x + y) = ৫৬ ⇒ x + y = ২৮ বা y = ২৮ − x।
$x + y = 28 \implies y = 28 - x$
1. ক্ষেত্রফলের শর্তমতে, xy = ১৯২ ⇒ x(২৮ − x) = ১৯২ ⇒ x² − ২৮x + ১৯২ = ০।
$x^2 - 28x + 192 = 0$
1. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: (x − ১৬)(x − ১২) = ০, সুতরাং x = ১৬ বা x = ১২। যেহেতু দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে বড় বা সমান (x ≥ y), তাই পুকুরটির দৈর্ঘ্য ১৬ m।
একটি আয়তাকার বাগানের পরিসীমা $32\,\mathrm{m}$ এবং ক্ষেত্রফল $60\,\mathrm{m}^2$ । বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে বেশি হলে প্রস্থ কত?
1. ক
  $4\,\mathrm{m}$
2. খ
  $8\,\mathrm{m}$
3. গ
  $6\,\mathrm{m}$
4. ঘ
  $10\,\mathrm{m}$
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
গ) $6\,\mathrm{m}$
1. দৈর্ঘ্য $x\,\mathrm{m}$ ও প্রস্থ $y\,\mathrm{m}$ ধরলে $x>y>0$ , $x+y=16$ এবং $xy=60$ ।
2. $x=16-y$ বসিয়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে $y=6$ অথবা $y=10$ পাওয়া যায়।
$y(16-y)=60\Rightarrow y^2-16y+60=(y-6)(y-10)=0$
1. দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে বেশি, তাই প্রস্থ $6\,\mathrm{m}$ এবং দৈর্ঘ্য $10\,\mathrm{m}$ ।

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো