পরাবৃত্তের সাথে সরলরেখার ছেদ
মান বদলাও, চালাও, আর দেখো কী ঘটে।
একটি পদচারী-সেতুর বাঁকা গার্ডারের নকশায় পরাবৃত্তের সমীকরণ y = x²। প্রকৌশলীরা এর নিচ দিয়ে অনুভূমিকভাবে একটি সোজা পাইপ y = -১ বরাবর স্থাপন করেছেন (m = ০, p = -১), যা গার্ডারটিকে স্পর্শ করে না (০টি ছেদবিন্দু)। পাইপটিকে সোজা অনুভূমিক রেখে উপরে তুলে y = ৪ (p = ৪) বরাবর নিলে সেটি গার্ডারটিকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করবে?
পাইপটিকে সোজা উপরে তুলে y = ৪ (p = ৪) বরাবর নিলে গার্ডারটিকে মোট কয়টি বিন্দুতে ছেদ করবে?
- ১টি বিন্দুতে — সরলরেখা যেকোনো লেখচিত্রকে সর্বোচ্চ একবারই ছেদ করে
- ২টি বিন্দুতে
- ০টি বিন্দুতে — শুরুতে যেহেতু মেলেনি, সমান্তরাল তুললেও মিলবে না
যা বদলাতে পারবে
- রেখার ঢাল (m): −৪ থেকে ৪
- রেখার y-ছেদক (p): −৪ থেকে ৮
যা মেপে দেখাবে
- ছেদবিন্দুর সংখ্যা
- নিশ্চায়ক (D)
- পরাবৃত্তের শীর্ষের y-স্থানাঙ্ক
চালানোর সময় খেয়াল করো
- p-এর মান বাড়িয়ে দেখো: p < ০ হলে কোনো ছেদবিন্দু নেই, p = ০ হলে ঠিক স্পর্শ করে, আর p > ০ হলে রেখাটি পরাবৃত্তের দুই বাহুকেই কেটে যায়।
নিজে করে দেখো
- পাইপটিকে হেলিয়ে এমনভাবে বসাও যাতে এটি গার্ডারকে কেবল একটি বিন্দুতে ছোঁয় (ঢাল শূন্য নয়)।
ইঙ্গিত
একটিমাত্র ছেদবিন্দু মানে নিশ্চায়ক D = ০।
- রেখাটি এমনভাবে বসাও যাতে এটি পরাবৃত্তকে x = −১ আর x = ৩ বিন্দুতে ছেদ করে।
ইঙ্গিত
x² = mx + p ⇒ x² − mx − p = ০; মূলদ্বয়ের যোগফল m, গুণফল −p।
ধারণাটা কী?আগে নিজে চালিয়ে দেখো, তারপর খোলো।
পরাবৃত্ত ও সরলরেখার ছেদবিন্দু এবং নিশ্চয়ক
পরাবৃত্ত y = ax² + bx + c এবং সরলরেখা y = mx + p এর ছেদবিন্দু বের করতে y এর মান সমান ধরে পাই: ax² + (b − m)x + (c − p) = 0। এই দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সংখ্যা নির্ভর করে নিশ্চয়ক D = (b − m)² − 4a(c − p) এর ওপর। D > ০ হলে সমীকরণের ২টি বাস্তব মূল থাকে (২টি ছেদবিন্দু), D = ০ হলে রেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হয় (১টি ছেদবিন্দু), এবং D < ০ হলে কোনো বাস্তব মূল থাকে না (০টি ছেদবিন্দু)।
অন্য উত্তরগুলো কেন ভুল
একঘাত সমীকরণে দুটি সরলরেখা কেবল একটি বিন্দুতেই ছেদ করতে পারে, কিন্তু পরাবৃত্ত একটি বক্ররেখা যার দুটি বাহু থাকে। রেখাটি শীর্ষবিন্দুর উপরে উঠলে (D > ০) এটি পরাবৃত্তের দুটি বাহুকেই দুটি পৃথক বিন্দুতে (x = -২ ও x = ২) ছেদ করে।
যেসব ভুল ধারণা হয়
- একটি সরলরেখা যেকোনো লেখচিত্রকে কেবল একটি বিন্দুতেই ছেদ করতে পারে
- শুরুতে কোনো ছেদবিন্দু না থাকলে রেখা সমান্তরাল সরালে কখনো ছেদবিন্দু তৈরি হয় না
বাস্তবে কোথায় দেখা যায়
- পদ্মা সেতু বা যমুনা সেতুর মতো ঝুলন্ত ও আর্চ ব্রিজের তার ও গার্ডার নকশায় এবং রেললাইনের ক্লিয়ারেন্স যাচাইয়ে
- কৃষি জমিতে সেচ ও ড্রেনেজ নালা খনন এবং সৌর চুল্লির (সোলার কুকার) বাঁকা প্রতিফলকে সৌররশ্মি কেন্দ্রীভূত করার হিসাবে