ছাদবাগানের আয়তাকার প্লট ও দ্বিঘাত সমীকরণ
মান বদলাও, চালাও, আর দেখো কী ঘটে।
ঢাকায় একটি বাড়ির ছাদে শাকসবজি চাষের একটি আয়তাকার প্লটের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে ৩ m বেশি এবং ক্ষেত্রফল ৪০ m²। প্রস্থ x m হলে দৈর্ঘ্য (x + ৩) m এবং সমীকরণটি দাঁড়ায়: x(x + ৩) = ৪০ বা x² + ৩x − ৪০ = ০ (এখানে a = ১, b = ৩)। শুরুতে c = ০ তে ক্ষেত্রফল ০ m² থাকে। স্লাইডারে c = -৪০ সেট করে সমীকরণটি সমাধান করলে প্লটটির বাস্তবসম্মত প্রস্থ x কত মিটার হবে?
প্লটটির বাস্তবসম্মত প্রস্থ x কত মিটার?
- ৫ m
- ৮ m: ঋণাত্মক চিহ্ন বাদ দিয়ে অপর মূলটির মান নেওয়া
- -৮ m: সমীকরণের দুটি মূলই গ্রহণযোগ্য প্রস্থ
যা বদলাতে পারবে
- সহগ b (x): −১০ থেকে ১০
- ধ্রুবক c: −৬০ থেকে ২০
যা মেপে দেখাবে
- ছোট মূল (x₁)
- বড় মূল (x₂)
- নিশ্চায়ক (D)
- বাস্তব মূলের সংখ্যা
চালানোর সময় খেয়াল করো
- সমীকরণের ধ্রুবপদ c = -৪০ এ নাও। x-অক্ষ বরাবর দুটি মূল লক্ষ্য করো: একটি ঋণাত্মক, অন্যটি ধনাত্মক। জমির প্রস্থ কি কখনো ঋণাত্মক হতে পারে?
নিজে করে দেখো
- দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে ৩ m বেশি রেখে (b = ৩) ক্ষেত্রফল এমনভাবে পরিবর্তন করো যাতে প্রস্থ ঠিক ৪ m হয়।
ইঙ্গিত
প্রস্থ ৪ m হলে দৈর্ঘ্য হবে ৪ + ৩ = ৭ m। ফলে ক্ষেত্রফল ৪ × ৭ = ২৮ m², অর্থাৎ ধ্রুবপদ c = -২৮ সেট করতে হবে।
- b ও c এর মান পরিবর্তন করে এমন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করো যার বাস্তব মূল কেবল একটি (একটিমাত্র পুনরাবৃত্ত মূল)।
ইঙ্গিত
একটিমাত্র পুনরাবৃত্ত মূলের জন্য নিশ্চয়ক D = b² − 4ac = ০ হতে হবে (যেমন b = ২ ও c = ১, অথবা b = ৪ ও c = ৪)।
ধারণাটা কী?আগে নিজে চালিয়ে দেখো, তারপর খোলো।
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান, নিশ্চয়ক ও বাস্তব প্রাসঙ্গিকতা
ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূল দুটি হলো x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a। এখানে b² − 4ac রাশিটিকে নিশ্চয়ক (D) বলা হয়। D > ০ হলে দুটি অসমান বাস্তব মূল থাকে, D = ০ হলে একটিমাত্র পুনরাবৃত্ত মূল থাকে, এবং D < ০ হলে কোনো বাস্তব মূল থাকে না। বাস্তব সমস্যার ক্ষেত্রে বীজগণিতীয় সমাধান পেলেও ঋণাত্মক মান (যেমন দৈর্ঘ্য বা প্রস্থ ঋণাত্মক হওয়া) অর্থহীন, তাই প্রেক্ষাপট বিবেচনা করে অপ্রাসঙ্গিক মূল বর্জন করতে হয়।
অন্য উত্তরগুলো কেন ভুল
সমীকরণ x² + ৩x − ৪০ = ০ উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাই (x + ৮)(x − ৫) = ০, যার মূলদ্বয় x = -৮ এবং x = ৫। বাস্তব ক্ষেত্রে বাগানের প্রস্থ ঋণাত্মক (-৮ m) হতে পারে না, তাই -৮ গ্রহণযোগ্য নয়। আবার ঋণাত্মক চিহ্ন বাদ দিয়ে সরাসরি ৮ m ধরাও ভুল, কারণ ৮ m হলো দৈর্ঘ্য (x + ৩ = ৫ + ৩ = ৮ m), প্রস্থ নয়। সুতরাং সঠিক উত্তর ৫ m।
যেসব ভুল ধারণা হয়
- দ্বিঘাত সমীকরণের ঋণাত্মক মূলের চিহ্ন বাদ দিয়ে সরাসরি পরমমান নিলেই বাস্তব দৈর্ঘ্য বা প্রস্থ পাওয়া যায়
- বাস্তব সমস্যার ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের যেকোনো মূলই পরিমাপের মান হিসেবে গ্রহণযোগ্য
বাস্তবে কোথায় দেখা যায়
- ছাদবাগান, ফসলি জমি বা মাছের ঘেরের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রফলের জন্য বেড়া ও সীমানার সঠিক পরিমাপ নির্ধারণ
- স্থাপত্য নকশায় গাড়ি পার্কিং র্যাম্প, সেতু ও ওভারপাসের বাঁকা গার্ডারের উচ্চতা ও বিস্তারের হিসাব