সূচকীয় সমীকরণ

যে সমীকরণে অজ্ঞাত চলক সূচকরূপে থাকে, তাকে সূচক সমীকরণ বলে। যেমন $2^{x}=8$, $16^{x}=4^{x+2}$ বা $2^{x+1}-2^{x}-8=0$। এ ধরনের সমীকরণ সমাধানে সূচকের একটি ধর্ম বারবার ব্যবহার হয়: $a>0$, $a\neq1$ হলে $a^{x}=a^{m}$ হবে যদি ও কেবল যদি $x=m$ হয়। তাই প্রথমে উভয় পক্ষকে একই সংখ্যার ঘাত রূপে প্রকাশ করা হয়।

তিন ধরনের কৌশল প্রায়ই লাগে:

• একই ভিত্তিতে আনা: $3^{x+1}=81$ হলে $81=3^{4}$ লিখে পাই $x+1=4$, তাই $x=3$।
• সাধারণ উৎপাদক বের করা: $2^{x+1}-2^{x}=8$ হলে $2^{x+1}=2\cdot2^{x}$ লিখে $2^{x}(2-1)=8$, অর্থাৎ $2^{x}=8=2^{3}$, তাই $x=3$।
• নতুন চলক ধরা: কিছু সমীকরণ আসলে দ্বিঘাত। যেমন $4^{x}-5\cdot2^{x}+4=0$। এখানে $4^{x}=(2^{x})^{2}$, তাই $2^{x}=y$ ধরলে $y^{2}-5y+4=0$, বা $(y-1)(y-4)=0$। তাহলে $2^{x}=1=2^{0}$ থেকে $x=0$, আর $2^{x}=4=2^{2}$ থেকে $x=2$।

শেষ উদাহরণ যাচাই করি: $x=2$ হলে $16-20+4=0$ এবং $x=0$ হলে $1-5+4=0$; দুটিই সিদ্ধ। এখানে সব রাশি বিশুদ্ধ সংখ্যা, তাই কোনো একক নেই।

শর্ত $a\neq1$ কেন দরকার? $1^{x}=1^{m}$ সবসময় $1=1$, তাই এখান থেকে $x=m$ বলা যায় না। আবার $y=2^{x}$ সবসময় ধনাত্মক, তাই নতুন চলকের কোনো মান ঋণাত্মক বা শূন্য এলে সেটি বাদ দিতে হয়।

সাধারণ ভুল হলো ভিন্ন ভিত্তির ঘাত সরাসরি সমান করে ফেলা, যেমন $2^{x+7}=4^{x+2}$ থেকে $x+7=x+2$ লেখা। আগে $4^{x+2}=(2^{2})^{x+2}=2^{2x+4}$ লিখতে হবে; তখন $x+7=2x+4$, অর্থাৎ $x=3$।

মনে রাখো: সূচক সমীকরণে উভয় পক্ষকে একই ভিত্তির ঘাতে প্রকাশ করো, তারপর সূচক সমান করো; দরকার হলে $a^{x}$ কে নতুন চলক ধরো।