বর্গমূলবিশিষ্ট সমীকরণ

অনুশীলনের প্রশ্ন

1. ১

   বর্গমূলবিশিষ্ট সমীকরণ √(2x + 9) = x − 3-এর সমাধান সেট (solution set) কোনটি?

   1. ক

      {৮}

   2. খ

      {০, ৮}

   3. গ

      {০}

   4. ঘ

      ∅

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ক) {৮}

   1. উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই: 2x + 9 = (x − 3)² ⇒ 2x + 9 = x² − 6x + 9।

   $$2x + 9 = x^2 - 6x + 9$$

   2. পক্ষান্তর করে পাই x² − 8x = 0 ⇒ x(x − 8) = 0, ফলে x = ০ অথবা x = ৮।

   $$x(x - 8) = 0 \implies x = 0,\ 8$$

   3. শুদ্ধি পরীক্ষা: x = ০ হলে বামপক্ষ = √৯ = ৩ কিন্তু ডানপক্ষ = ০ − ৩ = -৩, যা অসমান (অপ্রাসঙ্গিক মূল)। x = ৮ হলে বামপক্ষ = √২৫ = ৫ এবং ডানপক্ষ = ৮ − ৩ = ৫, যা সিদ্ধ করে। অতএব সমাধান সেট {৮}।
2. ২

   বর্গমূল সংবলিত সমীকরণ সমাধানের ক্ষেত্রে উভয় পক্ষকে বর্গ করার ফলে কেন অপ্রাসঙ্গিক মূল (extraneous root) তৈরি হতে পারে এবং কেন শুদ্ধি পরীক্ষা আবশ্যক — সংক্ষেপে ব্যাখ্যা করো।

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   সমীকরণের উভয় পক্ষকে বর্গ করলে A = -B হলেও A² = B² সত্য হয়, ফলে মূল সমীকরণে অনুপস্থিত বাড়তি বীজ বা অপ্রাসঙ্গিক মূল সৃষ্টি হতে পারে। তাই প্রাপ্ত সমাধানগুলো প্রদত্ত মূল সমীকরণের উভয় পক্ষকে সিদ্ধ করে কি না তা নিশ্চিত হতে শুদ্ধি পরীক্ষা আবশ্যক।

   1. A = B ⇒ A² = B² একটি একমুখী সিদ্ধান্ত; কিন্তু বিপরীতক্রমে A² = B² হলে A = ±B হতে পারে।

   $$A^2 = B^2 \implies A = \pm B$$

   2. বর্গ করার ফলে A = -B-এর সমাধানগুলোও অন্তর্ভুক্ত হয়ে পড়ে যা মূল সমীকরণ A = B-কে সিদ্ধ করে না। তাই শুদ্ধি পরীক্ষার মাধ্যমে অপ্রাসঙ্গিক মূল বর্জন করা হয়।
3. ৩

   বাস্তব সংখ্যায় বর্গমূলবিশিষ্ট সমীকরণ সম্পর্কে— i. এ ধরনের সমীকরণে অজানা রাশি বর্গমূল চিহ্নের অধীনে থাকে। ii. বর্গমূল চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত প্রধান বর্গমূল অঋণাত্মক। iii. উভয় পক্ষ বর্গ করে পাওয়া প্রতিটি সমাধানই মূল সমীকরণের সমাধান। নিচের কোনটি সঠিক?

   1. ক

      i ও iii

   2. খ

      ii ও iii

   3. গ

      i ও ii

   4. ঘ

      i, ii ও iii

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   গ) i ও ii

   1. বর্গমূলবিশিষ্ট সমীকরণের সংজ্ঞা ও প্রধান বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী i ও ii সঠিক।
   2. উভয় পক্ষ বর্গ করলে অবান্তর মূল আসতে পারে; তাই প্রাপ্ত মান মূল সমীকরণে যাচাই করতে হয়। সুতরাং iii সঠিক নয়।