দুই চলকবিশিষ্ট সূচকীয় সমীকরণ জোট

যে সমীকরণ জোটে দুটি চলক $x$ ও $y$ সূচকরূপে থাকে, তাকে দুই চলকবিশিষ্ট সূচক সমীকরণ জোট বলে। এর সমাধান মূলত এক চলকের সূচক সমীকরণের কৌশল দুবার ব্যবহার করা। প্রতিটি সমীকরণের উভয় পক্ষকে একই ভিত্তির ঘাতে প্রকাশ করে সূচক সমান করলে দুটি সাধারণ সমীকরণ পাওয়া যায়, যেগুলো সাধারণত একঘাত। তারপর সেই জোট প্রতিস্থাপন, অপনয়ন বা আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করা হয়।

কাজে লাগে সূচকের সূত্রগুলো: $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$, $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ এবং $(a^{m})^{n}=a^{mn}$। ভিত্তি $a>0$, $a\neq1$ হলে $a^{p}=a^{q}$ থেকে $p=q$ লেখা যায়।

উদাহরণ: সমাধান করো: $2^{x}\cdot4^{y}=128$ এবং $3^{x-y}=3$।

১. প্রথম সমীকরণে $4^{y}=(2^{2})^{y}=2^{2y}$ এবং $128=2^{7}$। তাই $2^{x}\cdot2^{2y}=2^{7}$, বা $2^{x+2y}=2^{7}$, অর্থাৎ $x+2y=7$। ২. দ্বিতীয় সমীকরণে $3=3^{1}$, তাই $x-y=1$। ৩. প্রথমটি থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করে $3y=6$, অর্থাৎ $y=2$। তাহলে $x=1+2=3$। ৪. যাচাই: $2^{3}\cdot4^{2}=8\times16=128$ এবং $3^{3-2}=3$। দুটিই সিদ্ধ।

সমাধান $(x, y)=(3, 2)$। এখানে সব রাশি বিশুদ্ধ সংখ্যা, তাই কোনো একক নেই।

একই ভিত্তির জোটও আসে, যেমন $a^{x+2}\cdot a^{2y+1}=a^{10}$ এবং $a^{2x}\cdot a^{y+1}=a^{9}$, যেখানে $a\neq1$। সূচক যোগ করে পাই $x+2y+3=10$ এবং $2x+y+1=9$; এ জোট সমাধান করলে $x=3$, $y=2$।

সাধারণ ভুল হলো ভিন্ন ভিত্তির ঘাতের সূচক সরাসরি যোগ করা, যেমন $2^{x}\cdot4^{y}=2^{x+y}$ লেখা। আগে $4^{y}$ কে $2^{2y}$ করতে হবে।

মনে রাখো: সূচক সমীকরণ জোটে প্রতিটি সমীকরণকে একই ভিত্তিতে এনে সূচক সমান করো; পাওয়া সাধারণ জোট সমাধান করে উত্তর যাচাই করো।