f: ℝ ∖ {2} → ℝ ∖ {1}, যেখানে f(x) = (x + 3)/(x - 2)। ফাংশনটির বিপরীত ফাংশন (Inverse function) f⁻¹(x) কোনটি?

সঠিক উত্তর: ক) f⁻¹(x) = (2x + 3)/(x - 1)। ধরি y = f(x) = (x + 3)/(x - 2), যেখানে বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞানুসারে x = f⁻¹(y)। আড়গুণন করে পাই y(x - 2) = x + 3 ⇒ xy - 2y = x + 3। x-যুক্ত পদগুলোকে একপাশে নিয়ে পাই xy - x = 2y + 3 ⇒ x(y - 1) = 2y + 3 ⇒ x = (2y + 3)/(y - 1)। চলক পরিবর্তন করে পাই f⁻¹(x) = (2x + 3)/(x - 1)।

A={-1,0,1} ও B={0,1}। A থেকে B-তে অন্বয় R={(-1,1),(0,0),(1,1)} সম্পর্কে— i. R একটি ফাংশন। ii. R একটি এক-এক ফাংশন। iii. R একটি সার্বিক ফাংশন। নিচের কোনটি সঠিক?

সঠিক উত্তর: ঘ) i ও iii। A-এর প্রত্যেক উপাদানের একটিমাত্র প্রতিবিম্ব আছে, তাই R একটি ফাংশন। -1 ও 1-এর প্রতিবিম্ব একই, তাই ফাংশনটি এক-এক নয়। B-এর প্রত্যেক উপাদান কোনো না কোনো উপাদানের প্রতিবিম্ব, তাই ফাংশনটি সার্বিক। সুতরাং i ও iii সঠিক।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১ · টপিক ৯

এক-এক ফাংশন, সার্বিক ফাংশন ও এক-এক সার্বিক ফাংশন

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

ধরি $f: A\to B$ একটি ফাংশন। এখানে $A$ ডোমেন, $B$ কোডোমেন, আর সব প্রতিবিম্বের সেট $f(A)$ হলো রেঞ্জ, যা কোডোমেনের উপসেট।

এক-এক ফাংশন

ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের প্রতিবিম্ব ভিন্ন হলে $f$ কে এক-এক ফাংশন বলে। প্রমাণের কৌশল: $f(x_1)=f(x_2)$ ধরে দেখাতে হয় যে $x_1=x_2$ ।

সার্বিক ফাংশন

রেঞ্জ ও কোডোমেন সমান হলে, অর্থাৎ $f(A)=B$ হলে $f$ কে সার্বিক ফাংশন বলে। তখন কোডোমেনের প্রতিটি উপাদান অন্তত একটি উপাদানের প্রতিবিম্ব।

এক-এক সার্বিক ফাংশন

যে ফাংশন একই সঙ্গে এক-এক ও সার্বিক, তাকে এক-এক সার্বিক ফাংশন বলে। তখন ডোমেন ও কোডোমেনের মধ্যে একটি এক-এক মিল তৈরি হয় এবং ফাংশনটির বিপরীত ফাংশন থাকে।

উদাহরণ ১: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=2x+1$ ।

এক-এক: $f(x_1)=f(x_2)$ হলে $2x_1+1=2x_2+1$ , অর্থাৎ $x_1=x_2$ ।
সার্বিক: যেকোনো $y\in\mathbb{R}$ এর জন্য $x=\dfrac{y-1}{2}$ নিলে $f(x)=y$ । তাই প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাই কারও প্রতিবিম্ব।
সুতরাং $f$ এক-এক সার্বিক।

উদাহরণ ২: $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x)=x^{2}$ ।

এক-এক নয়: $g(2)=g(-2)=4$ , অথচ $2\neq-2$ ।
সার্বিক নয়: $-1$ কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ নয়, তাই রেঞ্জ $\{y: y\ge0\}$ , কোডোমেন $\mathbb{R}$ এর সমান নয়।

সাধারণ ভুল হলো ডোমেন ও কোডোমেন উল্লেখ না করেই ফাংশনকে এক-এক বা সার্বিক বলা। একই সূত্র ভিন্ন ডোমেন বা কোডোমেনে ভিন্ন ফল দেয়: $g(x)=x^{2}$ কে যদি ডোমেন ও কোডোমেন দুটিই $\{x: x\ge0\}$ ধরে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে তা এক-এক সার্বিক হয়।

মনে রাখো: এক-এক মানে ভিন্ন উপাদানের ভিন্ন প্রতিবিম্ব, সার্বিক মানে রেঞ্জ $=$ কোডোমেন; দুটিই হলে ফাংশনটি এক-এক সার্বিক এবং এর বিপরীত ফাংশন আছে।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

লকার বণ্টন: এক-এক ও সার্বিক ফাংশনচালিয়ে দেখো
একটি বিদ্যালয়ে ৫ জন শিক্ষার্থীকে (রোল: −২, −১, ০, ১, ২) f(x) = 2x + 1 নিয়ম অনুযায়ী লকার দেওয়া হলো। প্রাথমিকভাবে বরাদ্দকৃত লকারগুলো {−৩, −১, ১, ৩, ৫} বিবেচনা করলে প্রত্যেকে একটি করে আলাদা লকার পায় এবং কোনো লকার খালি থাকে না। কিন্তু লকার রুমে মোট ১১টি লকার রয়েছে, যার নম্বর −৫ থেকে ৫ পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যা। সব লকারকে কোডোমেন বিবেচনা করলে ফাংশনটি কি সার্বিক হবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

$f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{1\}$ , যেখানে $f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ । ফাংশনটির বিপরীত ফাংশন (Inverse function) $f^{-1}(x)$ কোনটি?
1. ক
  $f^{-1}(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$
2. খ
  $f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{x + 3}$
3. গ
  $f^{-1}(x) = \frac{2x - 3}{x - 1}$
4. ঘ
  $f^{-1}(x) = \frac{2x + 3}{x + 1}$
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) $f^{-1}(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$
1. ধরি $y = f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ , যেখানে বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞানুসারে $x = f^{-1}(y)$ ।
$y = \frac{x + 3}{x - 2}$
1. আড়গুণন করে পাই $y(x - 2) = x + 3 \implies xy - 2y = x + 3$ ।
2. $x$ -যুক্ত পদগুলোকে একপাশে নিয়ে পাই $xy - x = 2y + 3 \implies x(y - 1) = 2y + 3 \implies x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ ।
3. চলক পরিবর্তন করে পাই $f^{-1}(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ ।
$A=\{-1,0,1\}$ ও $B=\{0,1\}$ । $A$ থেকে $B$ -তে অন্বয় $R=\{(-1,1),(0,0),(1,1)\}$ সম্পর্কে—

i. $R$ একটি ফাংশন।

ii. $R$ একটি এক-এক ফাংশন।

iii. $R$ একটি সার্বিক ফাংশন।

নিচের কোনটি সঠিক?
1. ক
  i ও ii
2. খ
  ii ও iii
3. গ
  i, ii ও iii
4. ঘ
  i ও iii
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ঘ) i ও iii
1. $A$ -এর প্রত্যেক উপাদানের একটিমাত্র প্রতিবিম্ব আছে, তাই $R$ একটি ফাংশন।
2. $-1$ ও $1$ -এর প্রতিবিম্ব একই, তাই ফাংশনটি এক-এক নয়।
3. $B$ -এর প্রত্যেক উপাদান কোনো না কোনো উপাদানের প্রতিবিম্ব, তাই ফাংশনটি সার্বিক। সুতরাং i ও iii সঠিক।

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো