offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১

বর্গমূল ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ

মান বদলাও, চালাও, আর দেখো কী ঘটে।

f(x) = √(x − c) ফাংশনটি নাও। কোনো ঋণাত্মক সংখ্যার বাস্তব বর্গমূল নেই, তাই বর্গমূলের ভেতরের রাশি ঋণাত্মক হলে f(x)-এর কোনো বাস্তব মান থাকে না। c = ১ হলে x-এর কোন কোন মানের জন্য f(x) সংজ্ঞায়িত, অর্থাৎ ফাংশনটির ডোমেন কী?

c = ১ হলে f(x) = √(x − ১)-এর ডোমেন কোনটি?

  1. x ≥ ১
  2. x ≥ ০: বর্গমূল থাকলেই x অঋণাত্মক হতে হয়
  3. সব বাস্তব সংখ্যা: যেকোনো x বসানো যায়

যা বদলাতে পারবে

  • ধ্রুবক c: −৫ থেকে ৫
  • যাচাইয়ের মান x = k: −৫ থেকে ১০

যা মেপে দেখাবে

  • ডোমেনের শুরু (x ≥ …)
  • x = k হলে f(x) কি সংজ্ঞায়িত?
  • f(k)-এর মান
  • f(x)-এর ক্ষুদ্রতম মান

চালানোর সময় খেয়াল করো

  • c = ১ রেখে k-এর মান প্রথমে ০.৫ এবং পরে ৫ করে দেখো। k-এর কোন মানের জন্য f(k) অসংজ্ঞায়িত হয়? বর্গমূলের ভেতরের রাশি k − ১ তখন কত?

নিজে করে দেখো

  1. c বদলে এমন ফাংশন বানাও যার ডোমেন x ≥ ৩।
    ইঙ্গিত

    x − c ≥ ০ মানে x ≥ c। ডোমেন x ≥ ৩ চাইলে c কত হবে?

  2. c = ১ রেখে k-এর এমন মান বেছে নাও যেন f(k) = ২ হয়।
    ইঙ্গিত

    f(k) = ২ হলে √(k − ১) = ২। সমীকরণটির উভয় পক্ষকে বর্গ করে k-এর মান বের করো।

ধারণাটা কী?আগে নিজে চালিয়ে দেখো, তারপর খোলো।

বর্গমূল ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ

f(x)=x−c: x−c≥0⇒Df={x∈R:x≥c},Rf={y∈R:y≥0}f(x)=\sqrt{x-c}:\ x-c\ge 0 \Rightarrow D_f=\{x\in\mathbb{R}: x\ge c\},\quad R_f=\{y\in\mathbb{R}: y\ge 0\}

বর্গমূলের ভেতরের রাশি অঋণাত্মক হলেই কেবল বাস্তব বর্গমূল পাওয়া যায়। তাই f(x) = √(x − c)-এর জন্য x − c ≥ ০, অর্থাৎ x ≥ c। ডোমেন D_f = {x ∈ ℝ : x ≥ c}। √ চিহ্নটি অঋণাত্মক বর্গমূল বোঝায়, তাই f(x) ≥ ০। আবার যেকোনো y ≥ ০-এর জন্য x = y² + c নিলে x ডোমেনের অন্তর্ভুক্ত এবং f(x) = y হয়। তাই রেঞ্জ R_f = {y ∈ ℝ : y ≥ ০}। c বদলালে লেখচিত্রটি ডানে-বামে সরে যায় এবং ডোমেনের শুরুও সেই অনুযায়ী বদলায়।

অন্য উত্তরগুলো কেন ভুল

শর্তটি পুরো রাশি (x − ১)-এর উপর, শুধু x-এর উপর নয়। x = ০.৫ হলে x − ১ = −০.৫, যার বাস্তব বর্গমূল নেই, তাই x ≥ ০ ঠিক নয়। আবার সব বাস্তব সংখ্যাও ডোমেন নয়, কারণ x < ১ হলে f(x) অসংজ্ঞায়িত। সঠিক ডোমেন x ≥ ১।

যেসব ভুল ধারণা হয়

  • বর্গমূল ফাংশনের ডোমেন সবসময় x ≥ ০, ভেতরের রাশি যা-ই হোক
  • যেকোনো বাস্তব x-এর জন্য বর্গমূল ফাংশনের বাস্তব মান পাওয়া যায়

বাস্তবে কোথায় দেখা যায়

  • বায়ুর বাধা উপেক্ষা করে স্থির অবস্থা থেকে পড়ন্ত বস্তুর দ্রুতি v = √(২gh), যেখানে g > ০ একটি ধ্রুবক এবং h হলো পতনের দূরত্ব। h ঋণাত্মক হলে সূত্রটি v-এর বাস্তব মান দেয় না; এখানে h-এর ডোমেন h ≥ ০।
  • কেবল বাস্তব সংখ্যা নিয়ে গণনা করলে ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূলের বাস্তব মান পাওয়া যায় না; তাই ক্যালকুলেটর বা কম্পিউটার প্রোগ্রাম তখন error বা NaN দেখাতে পারে।

পাঠ্যবইয়ের টপিক