সমতুল সেট ও অসীম সেট

এক-এক মিল: $A$ সেটের প্রতিটি উপাদানের সঙ্গে $B$ সেটের একটি ও কেবল একটি উপাদানের এবং $B$ এর প্রতিটি উপাদানের সঙ্গে $A$ এর একটি ও কেবল একটি উপাদানের মিল স্থাপন করা গেলে তাকে $A$ ও $B$ এর মধ্যে এক-এক মিল বলে, লেখা হয় $A\leftrightarrow B$। যেমন তিনজন মানুষের সেট $\{a, b, c\}$ ও তাদের বয়সের সেট $\{30, 40, 50\}$।

সমতুল সেট: দুটি সেটের মধ্যে একটি এক-এক মিল বর্ণনা করা গেলে সেট দুটিকে সমতুল বলে, লেখা হয় $A\sim B$। যেমন $\{1, 2, 3\}\sim\{a, b, c\}$।

সান্ত ও অনন্ত সেট: যে সেটের উপাদান গুনে নির্দিষ্ট করা যায়, তা সান্ত সেট; সান্ত নয় এমন সেট অনন্ত সেট। গোনা মানেই আসলে এক-এক মিল: $A$ সেট $J_m=\{1, 2, \ldots, m\}$ এর সমতুল হলে $A$ সান্ত এবং এর উপাদান সংখ্যা $n(A)=m$। ফাঁকা সেট সান্ত, $n(\varnothing)=0$। সমতুল দুটি সেটের একটি সান্ত হলে অন্যটিও সান্ত এবং উপাদান সংখ্যা সমান।

সান্ত সেটের প্রকৃত উপসেটের উপাদান সংখ্যা সবসময় কম। কিন্তু অনন্ত সেটে অদ্ভুত একটি ধর্ম দেখা যায়: একটি সেট অনন্ত হবে যদি ও কেবল যদি তার এমন একটি প্রকৃত উপসেট থাকে, যা সেটটির সমতুল।

উদাহরণ: স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, \ldots\}$ এবং বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $A=\{1, 3, 5, \ldots\}$ বিবেচনা করি। $n\leftrightarrow 2n-1$ মিল দিলে $1\leftrightarrow1$, $2\leftrightarrow3$, $3\leftrightarrow5$, এভাবে চলে। প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যা একটিমাত্র বিজোড় সংখ্যার সঙ্গে এবং প্রতিটি বিজোড় সংখ্যা $m$ একটিমাত্র স্বাভাবিক সংখ্যা $\dfrac{m+1}{2}$ এর সঙ্গে মেলে। তাই $\mathbb{N}\sim A$, যদিও $A$ হলো $\mathbb{N}$ এর প্রকৃত উপসেট। এ থেকে প্রমাণ হয় $\mathbb{N}$ অনন্ত।

সাধারণ ভুল হলো ভাবা যে প্রকৃত উপসেট সবসময় মূল সেটের চেয়ে "ছোট" হবে। সান্ত সেটে তা সত্য, কিন্তু অনন্ত সেটে প্রকৃত উপসেটও মূল সেটের সমতুল হতে পারে।

মনে রাখো: এক-এক মিল থাকলে সেট দুটি সমতুল; কোনো সেট নিজের একটি প্রকৃত উপসেটের সমতুল হলে সেটি অনন্ত।