সেট প্রক্রিয়ার ধর্মাবলি

সংযোগ ($\cup$), ছেদ ($\cap$) ও পূরক নেওয়ার প্রক্রিয়াগুলো কিছু নিয়ম মেনে চলে। $A$, $B$, $C$ যেকোনো সেট এবং $U$ সার্বিক সেট হলে:

• বিনিময় বিধি: $A\cup B=B\cup A$ এবং $A\cap B=B\cap A$।
• সংযোগ বিধি: $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$ এবং $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$।
• বণ্টন বিধি: $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ এবং $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$।
• দ্যা মরগ্যানের সূত্র: $(A\cup B)'=A'\cap B'$ এবং $(A\cap B)'=A'\cup B'$।
• আরও কিছু সরল ধর্ম: $A\cup A=A$, $A\cap A=A$, $A\cup\varnothing=A$, $A\cap\varnothing=\varnothing$, $A\cup A'=U$, $A\cap A'=\varnothing$।

এই নিয়মগুলো ভেনচিত্র এঁকে বা উপাদান দিয়ে যাচাই করা যায়, আবার যুক্তি দিয়ে প্রমাণও করা যায়। প্রমাণের সাধারণ কৌশল হলো দেখানো যে বাম পক্ষের প্রতিটি উপাদান ডান পক্ষে আছে এবং ডান পক্ষের প্রতিটি উপাদান বাম পক্ষে আছে।

উদাহরণ (দ্যা মরগ্যান যাচাই): $U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $A=\{1, 2, 3\}$, $B=\{2, 4\}$।

1. $A\cup B=\{1, 2, 3, 4\}$, তাই $(A\cup B)'=\{5, 6\}$।
2. $A'=\{4, 5, 6\}$, $B'=\{1, 3, 5, 6\}$, তাই $A'\cap B'=\{5, 6\}$।
3. দুই পক্ষ সমান; সূত্রটি এ ক্ষেত্রে সত্য।

একইভাবে $A\cap B=\{2\}$, $(A\cap B)'=\{1, 3, 4, 5, 6\}$, আর $A'\cup B'=\{1, 3, 4, 5, 6\}$; দ্বিতীয় সূত্রও মেলে।

দৈনন্দিন ভাষায় দ্যা মরগ্যানের সূত্র বোঝা যায় এভাবে: "চা বা কফি কোনোটিই পছন্দ করে না" মানে "চা পছন্দ করে না এবং কফিও পছন্দ করে না"।

সাধারণ ভুল হলো $(A\cup B)'$ কে $A'\cup B'$ লেখা। পূরক নিলে সংযোগ ছেদে এবং ছেদ সংযোগে বদলে যায়।

মনে রাখো: বিনিময়, সংযোগ ও বণ্টন বিধি এবং দ্যা মরগ্যানের সূত্র সেট প্রক্রিয়ার মূল ধর্ম; পূরক নিলে $\cup$ ও $\cap$ স্থান বদল করে।