ত্রিকোণমিতি

আমরা জানি, বৃত্তচাপ $s = r\theta$, যেখানে $\theta$ রেডিয়ানে প্রকাশিত। উদ্দীপকে ব্যাসার্ধ $r = ১৪\text{ m}$ এবং বৃত্তচাপ $s = ১১\text{ m}$। সুতরাং $\theta = \frac{s}{r} = \frac{১১}{১৪}\text{ rad} \approx ০.৭৮৫৭\text{ rad}$। যেহেতু এক সমকোণ = $\frac{\pi}{২} \approx ১.৫৭০৮\text{ rad}$ এবং $০ < ০.৭৮৫৭\text{ rad} < \frac{\pi}{২}$, তাই উৎপন্ন $\theta$ কোণটি একটি সূক্ষ্মকোণ।

উদ্দীপক অনুসারে $P = \sin\alpha + \cos\alpha$ এবং $Q = \sec\alpha + \csc\alpha$। এখন, $P^2 - ১ = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - ১ = \sin^2\alpha + ২\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha - ১ = ১ + ২\sin\alpha\cos\alpha - ১ = ২\sin\alpha\cos\alpha$। আবার, $Q = \frac{১}{\cos\alpha} + \frac{১}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{P}{\sin\alpha\cos\alpha}$। অতএব, বামপক্ষ $= Q(P^2 - ১) = \frac{P}{\sin\alpha\cos\alpha} \cdot (২\sin\alpha\cos\alpha) = ২P =$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

প্রদত্ত সমীকরণ: $২\cos^2\alpha - \sin\alpha - ১ = ০$। $\cos^2\alpha = ১ - \sin^2\alpha$ বসিয়ে পাই: $২(১ - \sin^2\alpha) - \sin\alpha - ১ = ০ \implies ২ - ২\sin^2\alpha - \sin\alpha - ১ = ০ \implies -২\sin^2\alpha - \sin\alpha + ১ = ০ \implies ২\sin^2\alpha + \sin\alpha - ১ = ০$। মধ্যপদ বিভাজন করে পাই: $২\sin^2\alpha + ২\sin\alpha - \sin\alpha - ১ = ০ \implies ২\sin\alpha(\sin\alpha + ১) - ১(\sin\alpha + ১) = ০ \implies (২\sin\alpha - ১)(\sin\alpha + ১) = ০$। হয় $২\sin\alpha - ১ = ০ \implies \sin\alpha = \frac{১}{২}$। যেহেতু $০ < \alpha < ২\pi$ ব্যবধিতে $\sin\alpha$ ১ম ও ২য় চতুর্ভাগে ধনাত্মক, তাই ১ম চতুর্ভাগে $\alpha = \frac{\pi}{৬}$ এবং ২য় চতুর্ভাগে $\alpha = \pi - \frac{\pi}{৬} = \frac{৫\pi}{৬}$। অথবা $\sin\alpha + ১ = ০ \implies \sin\alpha = -১ = \sin\left(\frac{৩\pi}{২}\right) \implies \alpha = \frac{৩\pi}{২}$। অতএব নির্ণেয় সমাধান: $\alpha = \frac{\pi}{৬}, \frac{৫\pi}{৬}, \frac{৩\pi}{২}$।