offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ৮ · টপিক ১

রেডিয়ান পরিমাপ

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

কোণ মাপার একটি পদ্ধতি হলো বৃত্তীয় পদ্ধতি, যার একক রেডিয়ান।

যেকোনো বৃত্তে যে চাপের দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের সমান, সেই চাপ কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে ১ রেডিয়ান বলে। লেখা হয় 1c1^c। বৃত্ত ছোট হোক বা বড়, এই কোণের মান একই থাকে। তাই রেডিয়ান একটি ধ্রুব কোণ। এর কারণ, কেন্দ্রস্থ কোণ চাপের সমানুপাতিক, আর ১ রেডিয়ান =2π=\frac{2}{\pi} সমকোণ, যেখানে দুটিই ধ্রুবক।

যেকোনো কোণের বৃত্তীয় পরিমাপ বের করতে হলে চাপকে ব্যাসার্ধ দিয়ে ভাগ করতে হয়:

θ=srঅর্থাৎs=rθ\theta=\frac{s}{r}\quad\text{অর্থাৎ}\quad s=r\theta
  • ss = চাপের দৈর্ঘ্য
  • rr = ব্যাসার্ধ (দুটির একক একই হতে হবে)
  • θ\theta = কেন্দ্রস্থ কোণ, রেডিয়ানে

s/rs/r হলো একই এককে মাপা দুটি দৈর্ঘ্যের অনুপাত; এটি কোণের রেডিয়ান পরিমাপ দেয়। রেডিয়ান হলো কোণ পরিমাপের একক।

উদাহরণ: পুকুরের চারপাশে বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ ২০ মিটার। কেউ যদি ৫০ মিটার চাপ হেঁটে যায়, তবে কেন্দ্রে কত কোণ উৎপন্ন হবে?

  • r=20r=20, s=50s=50
  • θ=sr=5020=2.5\theta=\frac{s}{r}=\frac{50}{20}=2.5

কোণটি ২.৫ রেডিয়ান। উল্টো দিক থেকে, θ=1.5\theta=1.5 রেডিয়ান হলে s=20×1.5=30s=20\times1.5=30 মিটার।

s=rθs=r\theta সূত্রে চাপ ও ব্যাসার্ধ একই এককে নিতে হয়; দৈর্ঘ্যের SI একক মিটার (m)। কোণ θ\theta রেডিয়ানে থাকলে তবেই সূত্রটি খাটে।

সাধারণ ভুল হলো ডিগ্রিতে দেওয়া কোণ সরাসরি s=rθs=r\theta এ বসানো। যেমন r=10r=10 cm ও কোণ 30∘30^{\circ} হলে s=10×30=300s=10\times30=300 cm লেখা ভুল। আগে 30∘=π630^{\circ}=\dfrac{\pi}{6} রেডিয়ানে রূপান্তর করলে s=10×π6≈5.24s=10\times\dfrac{\pi}{6}\approx5.24 cm।

মনে রাখো: চাপ ব্যাসার্ধের সমান হলে কেন্দ্রস্থ কোণ ১ রেডিয়ান, আর যেকোনো কোণে s=rθs=r\theta (θ রেডিয়ানে)।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

এই টপিকের পার্থক্য

অনুশীলনের প্রশ্ন

  1. বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের চাপ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে কী কোণ বলা হয়?

    1. ক

      ১ ডিগ্রি (1 degree)

    2. খ

      ১ রেডিয়ান (1 radian)

    3. গ

      ১ সমকোণ (1 right angle)

    4. ঘ

      ১ গ্রেড (1 grade)

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    খ) ১ রেডিয়ান (1 radian)

    1. বৃত্তীয় পদ্ধতিতে (circular system) কোণ পরিমাপের একক হলো রেডিয়ান (radian)।
    2. সংজ্ঞা অনুসারে, যেকোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ ওই বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ তৈরি করে তাকে এক রেডিয়ান (১ rad১\text{ rad}) কোণ বলে।
    θ=sr=rr=1 rad\theta = \frac{s}{r} = \frac{r}{r} = 1\text{ rad}

  2. রাজশাহীর পদ্মা নদীর তীর ঘেঁষে তৈরি একটি বৃত্তাকার পার্কের রাস্তার ব্যাসার্ধ ৭৫ m। সকালে শরীরচর্চার সময় একজন ব্যক্তি ওই বৃত্তাকার পথ বরাবর এমনভাবে হাঁটলেন যেন তিনি পার্কের কেন্দ্রে ০.৮ রেডিয়ান (০.৮ rad০.৮\text{ rad}) কোণ উৎপন্ন করেন। তিনি পার্কের পথ ধরে কত মিটার পথ হাঁটলেন?

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ৬০ m

    1. আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ rr এবং কেন্দ্রস্থ কোণ θ\theta (রেডিয়ানে) হলে অতিক্রান্ত বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s=rθs = r\theta।
    2. এখানে ব্যাসার্ধ r=৭৫ mr = ৭৫\text{ m} এবং কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ=০.৮ rad\theta = ০.৮\text{ rad}।
    r=75 m,θ=0.8 radr = 75\text{ m}, \quad \theta = 0.8\text{ rad}
    1. মান বসিয়ে পাই: s=৭৫×০.৮=৬০ ms = ৭৫ \times ০.৮ = ৬০\text{ m}।
    s=75×0.8=60 ms = 75 \times 0.8 = 60\text{ m}

  3. বরিশালের রূপাতলী থেকে নথুল্লাবাদগামী একটি ব্যাটারিচালিত ইজিবাইক ১৫.৭০৮ m/s সুষম দ্রুতিতে চলছে। এর চাকা প্রতি মিনিটে ৩০০ বার পূর্ণ ঘূর্ণন সম্পন্ন করে। ইজিবাইকটির চাকার ব্যাসার্ধ কত মিটার? (এখানে π=৩.১৪১৬\pi = ৩.১৪১৬ বিবেচনা করো)

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ০.৫ m

    1. ইজিবাইকটি ১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে: s=১৫.৭০৮×৬০=৯৪২.৪৮ ms = ১৫.৭০৮ \times ৬০ = ৯৪২.৪৮\text{ m}।
    s=v⋅t=15.708×60=942.48 ms = v \cdot t = 15.708 \times 60 = 942.48\text{ m}
    1. চাকাটি ৩০০ বার ঘুরে ৯৪২.৪৮ m দূরত্ব অতিক্রম করায়, এক পূর্ণ ঘূর্ণনে চাকাটির অতিক্রান্ত দূরত্ব (পরিধি) C=৯৪২.৪৮৩০০=৩.১৪১৬ mC = \frac{৯৪২.৪৮}{৩০০} = ৩.১৪১৬\text{ m}।
    C=942.48300=3.1416 mC = \frac{942.48}{300} = 3.1416\text{ m}
    1. চাকার পরিধি C=২πrC = ২\pi r সূত্র অনুসারে: ২×৩.১৪১৬×r=৩.১৪১৬  ⟹  r=৩.১৪১৬২×৩.১৪১৬=০.৫ m২ \times ৩.১৪১৬ \times r = ৩.১৪১৬ \implies r = \frac{৩.১৪১৬}{২ \times ৩.১৪১৬} = ০.৫\text{ m}।
    2πr=3.1416  ⟹  r=3.14162×3.1416=0.5 m2\pi r = 3.1416 \implies r = \frac{3.1416}{2 \times 3.1416} = 0.5\text{ m}

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো