অনূর্ধ্ব 2π কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

$0$ থেকে $2\pi$ পর্যন্ত যেকোনো কোণের অনুপাত বের করা হয় সূক্ষ্মকোণ $\theta$ $\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$ এর অনুপাতে প্রকাশ করে।

প্রমিত কোণের মান:

$\theta$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{1}{\sqrt2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan\theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt3}$	$1$	$\sqrt3$	অসংজ্ঞায়িত

sin 30° বা $\sin\frac{\pi}{6}$ কেন ঠিক $\frac{1}{2}$? একটি সমবাহু ত্রিভুজ নাও, যার প্রতিটি বাহু ২ একক এবং প্রতিটি কোণ ৬০°। একটি শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর উপর লম্ব টানলে লম্বটি ঐ বাহুকে সমান দুই ভাগে (১ একক করে) ভাগ করে এবং শীর্ষকোণ ৬০°-কে দুটি ৩০° কোণে ভাগ করে। ফলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাওয়া যায়, যার অতিভুজ ২ একক। ৩০° কোণের সাপেক্ষে বিপরীত বাহু ১ একক, আর সন্নিহিত বাহু (শীর্ষ থেকে টানা লম্বটি) পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$ একক। তাই

$$\sin30^\circ=\frac{\text{বিপরীত বাহু}}{\text{অতিভুজ}}=\frac{1}{2},\qquad \cos30^\circ=\frac{\text{সন্নিহিত বাহু}}{\text{অতিভুজ}}=\frac{\sqrt3}{2}$$

৬০° কোণের সাপেক্ষে বাহু দুটির ভূমিকা বদলে যায়: বিপরীত বাহু $\sqrt3$ এবং সন্নিহিত বাহু ১। তাই $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ এবং $\cos60^\circ=\frac{1}{2}$।

একইভাবে, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহু দুটি ১ একক করে হলে অতিভুজ $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ একক। ৪৫° কোণের সাপেক্ষে বিপরীত ও সন্নিহিত বাহু দুটিই ১ একক, তাই $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}$।

রেডিয়ানে: $30^\circ=\frac{\pi}{6}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$।

বড় কোণ থেকে সূক্ষ্মকোণে:

$$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta,\quad \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta,\quad \tan(\pi-\theta)=-\tan\theta$$ $$\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta,\quad \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta,\quad \tan(\pi+\theta)=\tan\theta$$ $$\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta,\quad \cos(2\pi-\theta)=\cos\theta,\quad \tan(2\pi-\theta)=-\tan\theta$$ $$\sin(2\pi+\theta)=\sin\theta,\quad \cos(2\pi+\theta)=\cos\theta$$

$\operatorname{cosec}$, $\sec$, $\cot$ এর জন্য $\sin$, $\cos$, $\tan$ এর উল্টো (অনোন্যক) নিলেই হয়।

কৌশল:

• কোণটি কোন চতুর্ভাগে আছে দেখো এবং সেই অনুযায়ী চিহ্ন ঠিক করো।
• $\pi$ বা $2\pi$ থেকে কত দূরে আছে, সেই সূক্ষ্মকোণটি বের করো।
• অনুপাতের নাম অপরিবর্তিত রাখো।

উদাহরণ:

• $\sin\frac{5\pi}{6}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$
• $\cos\frac{7\pi}{6}=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$
• $\tan\frac{5\pi}{3}=\tan\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\tan\frac{\pi}{3}=-\sqrt3$

মনে রাখো: বড় কোণকে $\pi\pm\theta$ বা $2\pi-\theta$ আকারে লিখে, চতুর্ভাগের চিহ্ন বসালেই মান পাওয়া যায়।