চারটি চর্তুভাগে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহের চিহ্ন

$X'OX$ ও $Y'OY$ অক্ষ সমতলকে চারটি চতুর্ভাগে ভাগ করে। আদি রশ্মি $OX$ থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরলে ঘূর্ণায়মান রশ্মি $OA$ প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয়, চতুর্থ চতুর্ভাগ পার হয়। বিপরীত দিকে ঘুরলে কোণ ঋণাত্মক হয়।

কোণ কোন চতুর্ভাগে আছে বের করতে:

• ধনাত্মক কোণ হলে $0^\circ$–$90^\circ$ প্রথম, $90^\circ$–$180^\circ$ দ্বিতীয়, $180^\circ$–$270^\circ$ তৃতীয়, $270^\circ$–$360^\circ$ চতুর্থ চতুর্ভাগে।
• $360^\circ$ এর বেশি হলে পূর্ণ ঘূর্ণন বাদ দিয়ে বাকি অংশ দেখো।
• ঋণাত্মক কোণ হলে ঘড়ির কাঁটার দিকে মাপো।

ঘূর্ণায়মান রশ্মির উপর $P(x,y)$ বিন্দু নিলে $OP=r=\sqrt{x^2+y^2}$ সবসময় ধনাত্মক। কিন্তু $x$ ও $y$ এর চিহ্ন চতুর্ভাগ অনুযায়ী বদলায়। ফলে অনুপাতের চিহ্নও বদলায়:

$$\sin\theta=\frac{y}{r},\quad \cos\theta=\frac{x}{r},\quad \tan\theta=\frac{y}{x}$$

চতুর্ভাগ	$x$	$y$	ধনাত্মক অনুপাত
প্রথম	+	+	সবগুলো
দ্বিতীয়	−	+	$\sin$, $\operatorname{cosec}$
তৃতীয়	−	−	$\tan$, $\cot$
চতুর্থ	+	−	$\cos$, $\sec$

বাকি অনুপাতগুলো ওই চতুর্ভাগে ঋণাত্মক। $\operatorname{cosec}$, $\sec$, $\cot$ এর চিহ্ন যথাক্রমে $\sin$, $\cos$, $\tan$ এর মতোই।

উদাহরণ: $780^\circ$ কোন চতুর্ভাগে? $780=720+60$, দুই পূর্ণ ঘূর্ণনের পর $60^\circ$, তাই প্রথম চতুর্ভাগ। $-200^\circ$ কোথায়? $-200+360=160$, তাই দ্বিতীয় চতুর্ভাগ; সেখানে $\sin$ ধনাত্মক, $\cos$ ঋণাত্মক।

আরেকটি উদাহরণ: $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ এবং $\theta$ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে হলে $y=3$, $r=5$ ধরা যায়; তখন $x=-\sqrt{5^{2}-3^{2}}=-4$, কারণ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে $x$ ঋণাত্মক। তাই $\cos\theta=-\dfrac{4}{5}$ এবং $\tan\theta=-\dfrac{3}{4}$।

সাধারণ ভুল হলো $r$ কেও ঋণাত্মক ধরা। $r$ দূরত্ব, তাই সবসময় ধনাত্মক; চিহ্ন আসে কেবল $x$ ও $y$ থেকে।

মনে রাখো: প্রথমে সব, দ্বিতীয়ে $\sin$ ও $\operatorname{cosec}$, তৃতীয়ে $\tan$ ও $\cot$, চতুর্থে $\cos$ ও $\sec$ ধনাত্মক।