−θ কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

$-\theta$ কোণ পাওয়া যায় আদি রশ্মি $OX$ থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে $\theta$ পরিমাণ ঘুরলে। $\theta$ সূক্ষ্মকোণ হলে $\theta$ প্রথম চতুর্ভাগে এবং $-\theta$ চতুর্থ চতুর্ভাগে থাকে।

ঘূর্ণায়মান রশ্মির উপর $OP=OQ$ হয় এমন দুটি বিন্দু নিলে $P(x,y)$ এর প্রতিবিম্ব $x$-অক্ষের অপর পাশে $Q(x,-y)$ হয়। অর্থাৎ $x$ একই থাকে, $y$ এর চিহ্ন উল্টে যায়। $r$ একই থাকে। এ থেকে পাই:

$$\sin(-\theta)=-\sin\theta,\qquad \cos(-\theta)=\cos\theta,\qquad \tan(-\theta)=-\tan\theta$$ $$\operatorname{cosec}(-\theta)=-\operatorname{cosec}\theta,\quad \sec(-\theta)=\sec\theta,\quad \cot(-\theta)=-\cot\theta$$

এখানে $\cos$ ও $\sec$ এর মান বদলায় না। $\sin$, $\tan$, $\operatorname{cosec}$ ও $\cot$ এর চিহ্ন উল্টে যায়। এই সম্পর্ক যেকোনো কোণ $\theta$ এর জন্যই সত্য।

উদাহরণ ১: $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ এর মান কত?

• $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}$
• $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
• $\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\tan\frac{\pi}{4}=-1$
• যোগফল $=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=-1$

উদাহরণ ২: $\sec\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\sec\frac{\pi}{3}=2$।

একটি দ্রুত যাচাই: $\theta=60^{\circ}$ হলে $P$ বিন্দু প্রথম চতুর্ভাগে এবং $Q$ বিন্দু চতুর্থ চতুর্ভাগে। চতুর্থ চতুর্ভাগে শুধু $\cos$ ও $\sec$ ধনাত্মক, তাই $\cos(-60^{\circ})=\dfrac{1}{2}$ কিন্তু $\sin(-60^{\circ})=-\dfrac{\sqrt3}{2}$। চতুর্ভাগের চিহ্নের নিয়মের সঙ্গে সম্পর্কগুলো মিলে যায়।

উদাহরণ ৩: $\operatorname{cosec}\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+\cot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\operatorname{cosec}\dfrac{\pi}{2}-\cot\dfrac{\pi}{4}=-1-1=-2$। আবার $\cos(-\pi)=\cos\pi=-1$; এখানে মান ঋণাত্মক হলেও সেটি $\cos\pi$ এর নিজস্ব মান, $-\theta$ এর কারণে নয়।

সাধারণ ভুল হলো ঋণ চিহ্ন দেখেই সব অনুপাতকে ঋণাত্মক লেখা, যেমন $\cos(-\theta)=-\cos\theta$। $x$-স্থানাঙ্ক বদলায় না বলে $\cos$ ও $\sec$ এর মান একই থাকে।

মনে রাখো: $\cos(-\theta)=\cos\theta$ এবং $\sec(-\theta)=\sec\theta$; বাকি চারটি অনুপাতের চিহ্ন উল্টে যায়।