offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ৮ · টপিক ৬

পূর্ণসংখ্যা n (n ≤ 4)-এর জন্য (nπ/2 ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় ও প্রয়োগ

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

π/2\pi/2-এর পূর্ণসংখ্যা গুণিতক নয় এমন কোণকে (n×π2±θ)\left(n\times\frac{\pi}{2}\pm\theta\right) আকারে লেখা যায়, যেখানে nn পূর্ণসংখ্যা এবং θ\theta সূক্ষ্মকোণ। এর অনুপাত বের করার তিনটি ধাপ:

  • ধাপ ১: কোণটিকে n×π2±θn\times\frac{\pi}{2}\pm\theta আকারে লেখো।
  • ধাপ ২: nn জোড় হলে অনুপাতের নাম একই থাকে (sin⁡\sin থাকে sin⁡\sin, cos⁡\cos থাকে cos⁡\cos)। nn বিজোড় হলে sin⁡↔cos⁡\sin\leftrightarrow\cos, tan⁡↔cot⁡\tan\leftrightarrow\cot, sec⁡↔cosec⁡\sec\leftrightarrow\operatorname{cosec} হয়ে যায়।
  • ধাপ ৩: কোণটি যে চতুর্ভাগে থাকে (θ সূক্ষ্মকোণ ধরে), সেখানে মূল অনুপাতের যে চিহ্ন, ফলাফলের আগে সেই চিহ্ন বসাও।

যেমন:

sin⁡(π2+θ)=cos⁡θ,cos⁡(π2+θ)=−sin⁡θ\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin\theta sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θ,tan⁡(3π2−θ)=cot⁡θ\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)=-\cos\theta,\qquad \tan\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta sin⁡(3π2+θ)=−cos⁡θ,tan⁡(3π2+θ)=−cot⁡θ\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\theta\right)=-\cos\theta,\qquad \tan\left(\frac{3\pi}{2}+\theta\right)=-\cot\theta

উদাহরণ ১: cos⁡(5π2−θ)\cos\left(\frac{5\pi}{2}-\theta\right)। এখানে n=5n=5 বিজোড়, তাই cos⁡\cos হবে sin⁡\sin। কোণটি প্রথম চতুর্ভাগে (পূর্ণ ঘূর্ণনের পর π2−θ\frac{\pi}{2}-\theta), সেখানে cos⁡\cos ধনাত্মক। উত্তর sin⁡θ\sin\theta।

উদাহরণ ২: tan⁡(7π2+θ)\tan\left(\frac{7\pi}{2}+\theta\right)। n=7n=7 বিজোড়, তাই tan⁡\tan হবে cot⁡\cot। 7π2+θ\frac{7\pi}{2}+\theta চতুর্থ চতুর্ভাগে, সেখানে tan⁡\tan ঋণাত্মক। উত্তর −cot⁡θ-\cot\theta।

উদাহরণ ৩: cos⁡17π3\cos\frac{17\pi}{3}। 17π3=12×π2−π3\frac{17\pi}{3}=12\times\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}, n=12n=12 জোড়, কোণটি চতুর্থ চতুর্ভাগে যেখানে cos⁡\cos ধনাত্মক। মান cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}।

nn জোড় হলে nπ/2n\pi/2 কোণের প্রান্তিক রশ্মি xx-অক্ষে এবং বিজোড় হলে yy-অক্ষে থাকে। সেখান থেকে θ\theta যোগ বা বিয়োগ করে আলোচ্য কোণ পাওয়া যায়।

সাধারণ ভুল হলো চিহ্ন ঠিক করতে নতুন অনুপাত দেখা। যেমন cos⁡(π2+θ)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right) এ নাম বদলে sin⁡\sin হয়, কিন্তু চিহ্ন ঠিক হয় মূল অনুপাত cos⁡\cos দেখে: π2+θ\dfrac{\pi}{2}+\theta দ্বিতীয় চতুর্ভাগে, সেখানে cos⁡\cos ঋণাত্মক, তাই উত্তর −sin⁡θ-\sin\theta। আবার nn জোড় হলে নাম একই থাকে, যেমন sin⁡(π+θ)=−sin⁡θ\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta, কারণ π+θ\pi+\theta তৃতীয় চতুর্ভাগে এবং সেখানে sin⁡\sin ঋণাত্মক।

মনে রাখো: nn বিজোড় হলে নাম বদলায়, জোড় হলে বদলায় না; চিহ্ন আসে মূল অনুপাতের চতুর্ভাগ থেকে।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

  • নাগরদোলার উল্টো ঘূর্ণন ও সংযুক্ত কোণচালিয়ে দেখো

    বৈশাখী মেলার একটি নাগরদোলা স্বাভাবিকভাবে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরে। ৩০° কোণে নাগরদোলার একটি কামরা অনুভূমিক অক্ষের উপরে থাকে এবং sin ৩০° = ০.৫। কিন্তু চালক হঠাৎ নাগরদোলাটিকে উল্টো দিকে (ঘড়ির কাঁটার দিকে) ৩০° ঘুরিয়ে দিলেন, ফলে ঘূর্ণন কোণ হলো θ = −৩০°। এখন কামরাটি অনুভূমিক অক্ষের নিচে নেমে গেল। sin(−৩০°)-এর মান কত হবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

  1. যদি θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} হয়, তবে sin⁡(3π2−θ)+cos⁡(π+θ)\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) + \cos(\pi + \theta)-এর মান কত?

    1. ক

      −3-\sqrt{3}

    2. খ

      00

    3. গ

      3\sqrt{3}

    4. ঘ

      −1-1

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ক) −3-\sqrt{3}

    1. sin⁡(3π2−θ)=sin⁡(3⋅π2−θ)\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{2} - \theta\right)। এখানে π2\frac{\pi}{2}-এর গুণিতক ৩ বিজোড় হওয়ায় sine পরিবর্তিত হয়ে cosine হবে এবং ৩য় চতুর্ভাগে sine ঋণাত্মক হওয়ায় sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θ\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\cos\theta।
    sin⁡(3⋅π2−θ)=−cos⁡θ\sin\left(3\cdot\frac{\pi}{2} - \theta\right) = -\cos\theta
    1. cos⁡(π+θ)=cos⁡(2⋅π2+θ)\cos(\pi + \theta) = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2} + \theta\right)। এখানে গুণিতক ২ জোড় হওয়ায় cosine অপরিবর্তিত থাকবে এবং ৩য় চতুর্ভাগে cosine ঋণাত্মক হওয়ায় cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta।
    cos⁡(2⋅π2+θ)=−cos⁡θ\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\cos\theta
    1. প্রদত্ত রাশি =−cos⁡θ+(−cos⁡θ)=−2cos⁡θ= -\cos\theta + (-\cos\theta) = -2\cos\theta। এখন θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} বসিয়ে পাই: −2cos⁡(π6)=−2⋅32=−3-2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}।
    −2cos⁡(π6)=−2⋅32=−3-2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}

  2. 0≤θ≤2π0\leq\theta\leq2\pi হলে 2cos⁡(π−θ)=32\cos(\pi-\theta)=\sqrt{3} সমীকরণের সমাধান কোনটি? সব কোণ রেডিয়ানে দেওয়া আছে।

    1. ক

      θ=π6,11π6\theta=\frac{\pi}{6},\frac{11\pi}{6}

    2. খ

      θ=π3,5π3\theta=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}

    3. গ

      θ=2π3,4π3\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}

    4. ঘ

      θ=5π6,7π6\theta=\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ঘ) θ=5π6,7π6\theta=\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}

    1. সম্পর্কটি ব্যবহার করে সমীকরণটিকে সরল করি।
    cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ ⇒ cos⁡θ=−32\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\ \Rightarrow\ \cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}
    1. সংশ্লিষ্ট সূক্ষ্মকোণ π6\frac{\pi}{6}। কোসাইন দ্বিতীয় ও তৃতীয় চতুর্ভাগে ঋণাত্মক।
    2. প্রদত্ত ব্যবধানে তাই সমাধান দুটি পাওয়া যায়।
    θ=π−π6=5π6,θ=π+π6=7π6\theta=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6},\quad\theta=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো