সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হলো এমন সমীকরণ যেখানে অজানা কোণ $\theta$ এর অনুপাত থাকে। সমাধান মানে, দেওয়া ব্যবধির মধ্যে (যেমন $0<\theta<2\pi$) সমীকরণ সিদ্ধ করে এমন সব $\theta$ বের করা।

ধাপসমূহ:

• সমীকরণকে একটি অনুপাতে আনো। দরকার হলে $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ বা $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ব্যবহার করো।
• দ্বিঘাত হলে উৎপাদকে ভাঙো।
• প্রতিটি উৎপাদক শূন্য ধরে অনুপাতের মান বের করো।
• অনুপাতের চিহ্ন দেখে কোন কোন চতুর্ভাগে কোণ হবে ঠিক করো।
• $\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}$ ইত্যাদি প্রমিত কোণের সাহায্যে প্রতিটি চতুর্ভাগের কোণ লেখো, যেমন $\pi-\alpha$, $\pi+\alpha$, $2\pi-\alpha$।
• যে মানগুলো ব্যবধির মধ্যে পড়ে শুধু সেগুলো রাখো।

বর্গ করে সমাধান করলে বাড়তি মান আসতে পারে। তাই পাওয়া মান মূল সমীকরণে বসিয়ে যাচাই করো।

উদাহরণ ১: $0<\theta<2\pi$ ব্যবধিতে $2\sin^2\theta+\sin\theta-1=0$ সমাধান করো।

• উৎপাদকে ভেঙে পাই $(2\sin\theta-1)(\sin\theta+1)=0$
• $\sin\theta=\frac{1}{2}$ হলে $\sin$ ধনাত্মক, তাই প্রথম ও দ্বিতীয় চতুর্ভাগ: $\theta=\frac{\pi}{6}$ বা $\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$
• $\sin\theta=-1$ হলে $\theta=\frac{3\pi}{2}$

সমাধান: $\theta=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{3\pi}{2}$।

উদাহরণ ২: $\tan\theta=-\frac{1}{\sqrt3}$, $0<\theta<2\pi$। $\tan$ ঋণাত্মক, তাই দ্বিতীয় বা চতুর্থ চতুর্ভাগ। $\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}$ বলে $\theta=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ বা $2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$।

সাধারণ ভুল হলো শুধু প্রথম চতুর্ভাগের মান লিখে থেমে যাওয়া। যেমন $\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ হলে $\dfrac{\pi}{6}$ ছাড়াও দ্বিতীয় চতুর্ভাগে $\dfrac{5\pi}{6}$ আছে। আবার উৎপাদক থেকে পাওয়া কোনো মান ব্যবধির বাইরে পড়লে, কিংবা $\sin\theta=2$ এর মতো অসম্ভব মান এলে (কারণ $-1\le\sin\theta\le1$), সেটি বাদ দিতে হয়।

মনে রাখো: অনুপাতের চিহ্ন দেখে চতুর্ভাগ ঠিক করো, প্রমিত কোণ থেকে মান লেখো, তারপর ব্যবধির বাইরের মান বাদ দাও।