ঘন জ্যামিতি

কোণকের ব্যাসার্ধ $r$ এবং উচ্চতা $h$ হলে হেলানো উন্নতি $l = \sqrt{r^2 + h^2}$। শর্তানুসারে $h = r$ বসিয়ে পাই: $l = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{২r^2} = \sqrt{২}r$। অতএব হেলানো উন্নতি ও ব্যাসার্ধের অনুপাত $l : r = \sqrt{২}r : r = \sqrt{২} : ১$। অর্থাৎ হেলানো উন্নতি ভূমির ব্যাসার্ধের $\sqrt{২}$ গুণ।

কোণকাকার ছাদের তির্যক উচ্চতা $l = \sqrt{৩^2 + ৪^2} = \sqrt{২৫} = ৫\text{ m}$। ছাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r l = \pi \times ৩ \times ৫ = ১৫\pi\text{ m}^2$। সিলিন্ডার অংশের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $২\pi r h_১ = ২\pi \times ৩ \times ৮ = ৪৮\pi\text{ m}^2$। অতএব সাইলোর মোট উন্মুক্ত বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $১৫\pi + ৪৮\pi = ৬৩\pi = ৬৩ \times ৩.১৪১৬ \approx ১৯৭.৯২\text{ m}^2$।

সাইলোর সিলিন্ডার অংশের আয়তন $V_১ = \pi r^2 h_১ = \pi \times ৩^2 \times ৮ = ৭২\pi\text{ m}^3$। কোণক অংশের আয়তন $V_২ = \frac{১}{৩}\pi r^2 h_২ = \frac{১}{৩}\pi \times ৩^2 \times ৪ = ১২\pi\text{ m}^3$। সাইলোর মোট আয়তন $V = ৭২\pi + ১২\pi = ৮৪\pi\text{ m}^3$। মূল সাইলোর মোট উচ্চতা $h_১ + h_২ = ৮ + ৪ = ১২\text{ m}$। একই ব্যাসার্ধের ($r = ৩\text{ m}$) নতুন সিলিন্ডারের উচ্চতা $H$ হলে, $\pi r^2 H = ৮৪\pi \implies ৯\pi H = ৮৪\pi \implies H = \frac{৮৪}{৯} = \frac{২৮}{৩} \approx ৯.৩৩\text{ m}$। যেহেতু ৯.৩৩ m < ১২ m, তাই নতুন সিলিন্ডারের উচ্চতা মূল সাইলোর মোট উচ্চতার চেয়ে $১২ - ৯.৩৩ = ২.৬৭\text{ m}$ কম হবে। এর কারণ একই উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের একটি কোণকের আয়তন সিলিন্ডারের আয়তনের এক-তৃতীয়াংশ হওয়ায় কোণকের স্থান সিলিন্ডার দ্বারা পূরণ করলে কম উচ্চতাতেই সমপরিমাণ আয়তন ধারণ করা সম্ভব হয়।