সাবান কেটে টুকরো করা: ক্ষেত্রফল বনাম আয়তন

একটি কঠিন বস্তুকে টুকরো টুকরো কাটলে তার ভেতরের উপাদান বা মোট আয়তন সর্বদা অপরিবর্তিত থাকে (V_total = V)। কিন্তু প্রতিবার কাটার ফলে পূর্বে আবৃত থাকা ভেতরের অংশগুলো উন্মুক্ত হয়ে নতুন পৃষ্ঠতল সৃষ্টি করে। একটি আয়তকার ঘনবস্তুর প্রতিটি ধারকে k ভাগে ভাগ করলে মোট টুকরো হয় k³ টি এবং প্রতিটি ছোট টুকরোর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হয় মূল ঘনবস্তুর ১/k² অংশ। ফলে k³ টি টুকরোর সর্বমোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল দাঁড়ায় k³ × (S/k²) = k · S। এখানে k = ২ হওয়ায় ৮টি টুকরোর মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল মূল ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ (২ × ১০৮ = ২১৬ cm²) হয়।

ভুল উত্তরের কারণ: অনেকেই ভর বা উপাদান অপরিবর্তিত দেখে ধরে নেন ক্ষেত্রফলও অপরিবর্তিত থাকবে (১০৮ cm²)। কিন্তু কাটার ফলে ৩টি অক্ষ বরাবর নতুন ৬টি অভ্যন্তরীণ পৃষ্ঠ উন্মুক্ত হয়েছে, যার মোট ক্ষেত্রফল মূল সাবানের ক্ষেত্রফলের সমান (১০৮ cm²); তাই মোট ক্ষেত্রফল ১০৮ + ১০৮ = ২১৬ cm²। অন্যদিকে টুকরো সংখ্যা ৮টি হলেও প্রতিটি টুকরো আদি আকারের চেয়ে ছোট (ক্ষেত্রফল ১/৪ অংশ), তাই মোট ক্ষেত্রফল ৮ গুণ না হয়ে ৮ × (১/৪) = ২ গুণ হয়।